Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke

2 Das Kraftgrößenverfahren (S. 63-64)

2.1 Grundlagen

2.1.1 Einführung

Ein statisch bestimmtes System ist dadurch gekennzeichnet, dass die Bilanz zwischen unbekannten Kraftgrößen und den für die Berechnung zur Verfügung stehenden Gleichungen ausgewogen ist. Diese Bilanz wird durch das Abzählkriterium geprüft. Wenn alle Auflager- und Schnittgrößen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden können, ist ein System statisch bestimmt.

Sind mehr unbekannte Auflager- und Schnittgrößen als Gleichgewichtsbedingungen vorhanden, so ist das System statisch unbestimmt. Die Unbekannten können nicht allein durch Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden, es müssen zusätzlich Verformungen betrachtet werden, um die Lösung zu ermitteln.

Wir betrachten zur Erläuterung der Zusammenhänge den einseitig eingespannten Balken in Bild 2.1.

Durch die dreiwertige Lagerung im Punkt a sowie die einwertige Lagerung in b sind insgesamt vier unbekannte Auflagerreaktionen vorhanden. Das Abzählkriterium ergibt:

Das System ist also einfach statisch unbestimmt. Um die Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen, sind nur drei Auflagerreaktionen erforderlich. Ist eine der vier Unbekannten gleich null, so lassen sich die anderen drei Kraftgrößen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen ermitteln.

Damit nur drei unbekannte Kraftgrößen vorhanden sind, setzten wir eine der vier Unbekannten gleich null. Wir wählen zunächst die Auflagerkraft B. Wenn B gleich null ist, entspricht dies einem einfachen Kragträger. Das Nullsetzen der Auflagerkraft entspricht also dem Lösen einer kinematischen Bindung, hier dem Entfernen des einwertigen Auflagers.

Das durch das Lösen der Bindung entstandene veränderte System nennt man statisch bestimmtes Hauptsystem, es ist in Bild 2.2 dargestellt.

An diesem System können nun alle Auflagerkräfte und Schnittgrößen ermittelt werden. Die Momentenlinie sowie die Verformung infolge der Belastung am statisch bestimmten Hauptsystem zeigt Bild 2.2. Diese Lösung nennt man Lastspannungszustand. Durch die Verformung des Kragträgers infolge der Belastung entsteht eine vertikale Verschiebung des Punktes b, die am wirklichen System nicht auftreten kann, da dort ein Auflager vorhanden ist.

Durch das Entfernen des Auflagers, also das Lösen der Bindung, wird eine Verformungsbedingung verletzt, in diesem Fall die Bedingung, dass die Verschiebung des Auflagerpunktes b gleich null sein muss.

Die Verformungsbedingung wird verletzt, weil durch das Lösen der Bindung eine Kraftgröße zu null gesetzt wurde, die tatsächlich nicht gleich null ist.

Die Idee des Kraftgrößenverfahrens besteht nun darin, die im Punkt b wirkende, noch unbekannte Auflagerkraft in ihrer Größe so zu bestimmen, dass die Verformung infolge der Belastung wieder rückgängig gemacht wird. Dafür wird die Verformung des Punktes b benötigt. Um die Verschiebung infolge der Streckenlast mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte zu berechnen, wird eine virtuelle Kraft im Punkt b aufgebracht, siehe Bild 2.4. Durch Auswertung der Arbeitsgleichung folgt die gesuchte Verformung: