Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke (S. 87-88)

3.1 Überblick

3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren

Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme in der Baustatik führt im Allgemeinen auf ein lineares algebraisches Gleichungssystem. Ausnahmen bilden Untersuchungen, bei denen geometrische oder materialbedingte Nichtlinearitäten von Bedeutung sind. Sind die Unbekannten dieses Gleichungssystems Kräfte und Momente, so spricht man vom Kraftgrößenverfahren, sind es Verschiebungen und Verdrehungen, vom Verschiebungsgrößenverfahren. Sowohl das Kraftgrößenverfahren als auch das Verschiebungsgrößenverfahren können in Matrizenschreibweise formuliert und somit in einer für die Computerberechnung geeigneten Form angeschrieben werden [3.1]-[3.6].

Jedoch ist das Verschiebungsgrößenverfahren übersichtlicher und leichter schematisierbar als das Kraftgrößenverfahren und damit besser zur Programmierung geeignet. Daher beruhen fast alle in der Praxis angewandten Programmsysteme für baustatische Berechnungen auf dem Verschiebungsgrößenverfahren. Dieses wird im Folgenden ausschließlich behandelt. In der Literatur wird das Verschiebungsgrößenverfahren auch als Weggrößenverfahren, Formänderungsgrößenverfahren oder Deformationsverfahren bezeichnet. Die Formulierung des Verschiebungsgrößenverfahrens in Matrizenschreibweise wird auch bei Stabwerken meist als „Finite-Element-Methode" bezeichnet.

Diese Bezeichnung wird im Folgenden übernommen, da Stabwerke lediglich einen Spezialfall der allgemeineren Anwendung auf Flächentragwerke und dreidimensionale Kontinua darstellen. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente besteht darin, das zu berechnende Tragwerk in eine größere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zu zerlegen und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und der statischen Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammenzufügen. Da hierbei auch unterschiedliche Tragwerkselemente, wie z. B. Elemente zur Abbildung von Stäben, Scheiben, Platten sowie dreidimensionalen Kontinuen, in demselben Berechnungsmodell verwendet werden können, ist die Methode äußerst vielseitig und leistungsfähig.

3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite

Elemente Zur Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente diskretisiert man das Tragwerk in einzelne sogenannte Finite Elemente. Diese sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. An den Knotenpunkten werden Verschiebungsgrößen (Verschiebungen und Verdrehungen) sowie - als äußere Belastung des Systems - Kraftgrößen (Kräfte und Momente) definiert. Diese sind auf das globale Koordinatensystem bezogen, für das in der Regel kartesische Koordinaten verwendet werden. Verschiebungen oder Verdrehungen eines Knotenpunkts in globalen Koordinaten werden ganz allgemein auch als globale Freiheitsgrade bezeichnet.

Welche Freiheitsgrade einem Knotenpunkt zugeordnet werden, hängt von der Art des Tragwerks ab. Im allgemeinen räumlichen Fall sind sechs Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x-, y- und z-Achse möglich. Bei ebenen Systemen und speziellen Tragwerksformen verringert sich die Anzahl der zu berücksichtigenden Freiheitsgrade, beispielsweise bei einer Platte in der x-y-Ebene auf drei Freiheitsgrade je Knotenpunkt, nämlich die Verschiebung in z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x- und y-Achse (Bild 3-3). Die Definition von auf den Knotenpunkt bezogenen Kräften und Momenten, z. B. für Einzellasten, entspricht der Vorzeichendefinition der zugehörigen Verschiebungsfreiheitsgrade.