Kapitel 1

Am Anfang stand die Algebra

In diesem Kapitel

Einmal ganz von vorn. Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Algebra. All diese Ausdrücke und Aufgabenstellungen sind Ihnen in Ihrem Leben – oder auch nur im Mathematikunterricht – sicherlich über den Weg gelaufen. Haben Sie sich noch nie so richtig mit ihnen anfreunden können? Oder ist Ihre Freundschaft ein bisschen eingerostet? Kein Problem. Dieses Kapitel bietet Ihnen die wunderbare Möglichkeit, sich wieder kennenzulernen.

Mit Vorzeichen rechnen

In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie man Zahlen mit Vorzeichen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, egal, ob alle Zahlen das gleiche Vorzeichen haben oder ob sie gemischt vorkommen.

Zahlen mit Vorzeichen addieren und subtrahieren

Eins plus eins ergibt zwei. Diese wohlbekannte Rechnung ist das Paradebeispiel für eine Addition von zwei positiven Zahlen. Auch wenn Sie sich noch nie darüber Gedanken gemacht haben, es gilt allgemein:

(+a) + (+b) = +(a + b)

Die Addition zweier negativer Zahlen funktioniert ähnlich. Sie schuldeten Claudia schon sechs Euro und mussten sich noch einmal fünf Euro ausleihen. Nun schulden Sie ihr elf Euro.

(–a) + (–b) = –(a + b)

Wenn die Vorzeichen zweier Zahlen unterschiedlich sind, kann man die Zeichen erst einmal außer Acht lassen und zunächst die Differenz der beiden Zahlen ermitteln. Das ist die Differenz zwischen ihren Beträgen (wobei der Betrag einer Zahl die Zahl ohne ihr Vorzeichen ist). Die Zahl, die weiter von 0 entfernt ist, legt das Vorzeichen der Lösung fest.

Und zum Schluss die Rechenregeln für die Subtraktion: Verwandeln Sie die Subtraktion in eine Addition und schon haben Sie die Aufgabe gelöst.

(+a) – (+b) = (+a) + (–b)
(+a) – (–b) = (+a) + (+b)
(–a) – (+b) = (–a) + (–b)
(–a) – (–b) = (–a) + (+b)

Zahlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren

Multiplikation und Division von Zahlen mit Vorzeichen sind wirklich sehr einfach – vorausgesetzt, Sie können multiplizieren und dividieren. Die Regeln sind nicht nur leicht, sondern für beide Rechenarten außerdem die gleichen.

• Beim Multiplizieren und Dividieren von Zahlen mit Vorzeichen gilt: Wenn beide Vorzeichen gleich sind, ist das Ergebnis positiv; wenn die beiden Vorzeichen unterschiedlich sind, ist das Ergebnis negativ:

Algebraische Eigenschaften – eine Skizze

Die Mathematiker haben die Regeln und Eigenschaften in der Algebra entwickelt, damit jeder fleißige Student, engagierte Wissenschaftler, neugierige Schüler und gelangweilte Streber, die an derselben Aufgabe arbeiten, alle dieselbe Lösung erhalten – egal, wo sie sich befinden oder wann sie die Aufgabe lösen. Natürlich wollen Sie nicht, dass sich die Regeln täglich ändern (und wir wollen auch nicht jedes Jahr ein neues Buch schreiben!). Sie brauchen Regelmäßigkeit und Sicherheit – und das gewährleisten die strengen Regeln und Eigenschaften der Algebra, die wir Ihnen in diesem Abschnitt vorstellen.

Bewahren Sie Ordnung – mit dem Kommutativgesetz

• Das Kommutativgesetz gilt für die Operationen der Addition und Multiplikation. Es besagt, dass Sie die Reihenfolge der Terme in einer Operation ändern können, ohne dass sich das Endergebnis dadurch ändert:

Wenn Sie 2 und 3 addieren, erhalten Sie 5. Wenn Sie 3 und 2 addieren, erhalten Sie ebenfalls 5. Wenn Sie 2 mit 3 multiplizieren, erhalten Sie 6. Wenn Sie 3 mit 2 multiplizieren, erhalten Sie ebenfalls 6.

Algebraische Ausdrücke treten normalerweise in einer bestimmten Reihenfolge auf, die praktisch ist, wenn Sie es mit Variablen und Koeffizienten (Multiplikatoren von Variablen) zu tun haben. Zuerst kommt der Ziffernanteil, gefolgt von den Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge. Aber die Eleganz des Kommutativgesetzes ist, dass 2xyz dasselbe ist wie x2zy. Es gibt keinen Grund, den Ausdruck in der zweiten, scheinbar durcheinandergeratenen Darstellung zu schreiben, aber es ist gut zu wissen, dass Sie die Reihenfolge bei Bedarf beliebig ändern können.

Harmonie in der Gruppe – mit dem Assoziativgesetz

• Wie das Kommutativgesetz (voriger Abschnitt) gilt auch das Assoziativgesetz nur für die Operationen der Addition und Multiplikation. Das Assoziativgesetz besagt, dass Sie die Gruppierung von Operationen verändern können, ohne dass sich dadurch das Ergebnis ändert:

Mithilfe des Assoziativgesetzes der Addition oder Multiplikation können Sie Ausdrücke vereinfachen. Wenn Sie dann bei Bedarf auch noch das Kommutativgesetz anwenden, haben Sie damit eine sehr mächtige Kombination an der Hand. Wenn Sie (x + 14) + (3x + 6) vereinfachen wollen, lassen Sie zunächst die Klammern weg (dank des Assoziativgesetzes). Anschließend vertauschen Sie die beiden mittleren Terme unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition. Schließlich ordnen Sie die Terme mithilfe von Klammern neu an und kombinieren die zusammengehörigen Terme:

Die Schritte sind hier äußerst detailliert beschrieben. Sie haben die Aufgabe wahrscheinlich sofort im Kopf gelöst. Wir haben die Schritte so gezeigt, um zu verdeutlichen, wie Kommutativgesetz und Assoziativgesetz kombiniert werden. Jetzt können Sie sie auf komplexere Aufgabenstellungen anwenden.

Das Distributivgesetz – Werte verteilen

• Das Distributivgesetz besagt, dass Sie jeden Term in einem Ausdruck innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multiplizieren können, ohne den Wert des Ausdrucks zu verändern. Sie brauchen dazu eine einzige Operation, die Multiplikation, die sich über die Terme erstreckt, die Sie addieren und subtrahieren:

Wenn Sie das Distributivgesetz auf die Aufgabenstellung anwenden, machen Sie sich das Leben leichter: Sie verteilen die 12 über die Brüche, indem Sie jeden Bruch mit 12 multiplizieren, und fassen dann die Ergebnisse zusammen:

Es ist viel einfacher, die Lösung mithilfe des Distributivgesetzes zu finden, als alle Brüche auf denselben Nenner 12 zu bringen, sie zu kombinieren und dann mit 12 zu multiplizieren.

Das Distributivgesetz wird auch in umgekehrter Reihenfolge angewandt, wenn Sie eine Zahl ausklammern. Dabei ziehen Sie einen Faktor, der in einer Summe oder Differenz in jedem Term vorkommt, nach vorne und setzen die verbleibenden Teile in eine Klammer:

Auch hier ist der Vorteil klar erkennbar: Statt vier Multiplikationen mit Dezimalzahlen durchzuführen, muss man dank des Ausklammerns nur eine einzige Multiplikation vornehmen. Diese Vorgehensweise ist die Umkehrung des Distributivgesetzes und heißt faktorisieren.

• Mit dem Distributivgesetz beziehungsweise dem Faktorisieren werden Gleichungen vereinfacht – mit anderen Worten, Sie bereiten sie auf die Lösung vor.

Was Sie über Brüche wissen sollten

Wenn Sie ein Analysis‐Buch auf einer beliebigen Seite aufschlagen, dann wird Ihnen mit ziemlicher Sicherheit ein Bruch begegnen. Sie können nicht flüchten. Für den Umgang mit Brüchen brauchen Sie ein paar Regeln.

Ein paar schnelle Regeln

Die erste Regel ist ganz einfach, aber sehr wichtig, weil sie in der Welt der Analysis immer wieder vorkommt:

• Der Nenner eines Bruchs darf nie 0 sein. So hat den Wert 0, aber ist undefiniert.

Man erkennt ganz leicht, warum undefiniert ist, wenn man betrachtet, wie die Division funktioniert:

Diese Berechnung besagt, dass 2 viermal in 8 passt; mit anderen Worten: 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Aber wie viele Nullen bräuchten Sie, um 5 zu erhalten? Dies funktioniert nicht, deshalb können Sie 5 (oder irgendeine andere Zahl) nicht durch 0 dividieren.

Und noch eine schnelle Regel:

• Das Reziprok einer Zahl oder eines Ausdrucks ist ihr multiplikatives Inverses – eine verrückte Methode zu sagen, dass irgendetwas mit seinem Reziprok multipliziert gleich 1 ist. Um das Reziprok eines Bruchs zu erhalten, kehren Sie ihn um. Das Reziprok von ist also , das Reziprok von 6 (was man auch als schreiben kann) ist und das Reziprok von x – 2 ist .

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