Regelungstechnik II - Zustandsregelungen, digitale und nichtlineare Regelsysteme

3 Nichtlineare Regelsysteme (S. 173-174)

3.1 Allgemeine Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme

Bei den früheren Betrachtungen im Band Regelungstechnik I wurde ein System als linear und zeitinvariant bezeichnet, falls es durch eine lineare Differentialgleichung oder einen Satz linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden konnte, wobei für die Ein- und Ausgangsgrößen des Systems stets das Überlagerungsprinzip gait. Sind darüber hinaus einer oder mehrere der Koeffizienten einer linearen Differentialgleichung zeitabhängig, so handelt es sich um ein lineares zeitvariantes System. Jedes kontinuierliche, dynamische System, das sich nicht mit Hilfe einer dieser beiden Arten von linearen Differentialgleichungen beschreiben lasst, wird als nichtlinear bezeichnet.

Bei nichtlinearen Systemen gilt das Überlagerungsprinzip nicht. So ist es beispielsweise typisch für ein nichtlineares System, dass die Übergangsfunktionen für kleine und große Sprünge der Eingangsgröße in der Form nicht mehr übereinstimmen. Aus der obigen Definition geht hervor, dass die Bezeichnung "nichtlineares System" mehr als Sammelbegriff für verschiedenartige Übertragungssysteme zu verstehen ist, die durch sehr unterschiedliche nichtlineare Phänomene gekennzeichnet sind. Dementsprechend gibt es im Gegensatz zu den linearen Systemen für die Analyse und Synthese nichtlinearer Übertragungssysteme keine allgemein anwendbaren Verfahren.

Zwar stehen zur Behandlung spezieller Klassen nichtlinearer Probleme bewahrte Verfahren zur Verfügung, eine allgemeine Theorie nichtlinearer Übertragungssysteme existiert jedoch nicht. Für die Einteilung nichtlinearer Übertragungssysteme bestehen verschiedene Möglichkeiten. Oft erfolgt die Einteilung nach mathematischen Gesichtspunkten, wobei nur die Form der betreffenden Differentialgleichung berücksichtigt wird. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die wichtigsten nichtlinearen Eigenschaften, die insbesondere bei technischen Systemen auftreten, für eine Einteilung zu verwenden. Hierzu zahlen die stetigen und nichtstetigen nichtlinearen Systemkennlinien, die in Tabelle 3.1.1 zusammengestellt sind.

Dabei unterscheidet man zwischen eindeutigen Kennlinien (Falle 1 bis 4) und mehrdeutigen Kennlinien (Falle 5 bis 7). Die Kennlinien sind dabei häufig asymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Oftmals empfiehlt sich auch eine Unterteilung in ungewollte und gewollte Nichtlinearitäten. Kein physikalisches System ist exakt linear im mathematischen Sinn.

Die Nichtlinearität kann schwach und damit vernachlässigbar sein, sie kann jedoch auch stark sein und sich negativ (gelegentlich auch positiv) auf das dynamische Verhalten eines Übertragungssystems auswirken. Manchmal setzt man beim Reglerentwurf bewusst nichtlineare Elemente ein, nicht nur well sie einfach und billig zu realisieren sind (z. B. schaltender Regler), sondern auch um spezielle Eigenschaften des Systems zu erzielen, die mit linearen Elementen nicht erreichbar sind (siehe z. B. zeitoptimale Regelung, Abschnitt 3.6).