Mathematik für das Ingenieurstudium - Mit 454 durchgerechneten Beispielen und 303 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet

von: Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Carl Hanser Fachbuchverlag, 2010

ISBN: 9783446425507

Sprache: Deutsch

678 Seiten, Download: 17308 KB

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Mathematik für das Ingenieurstudium - Mit 454 durchgerechneten Beispielen und 303 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet

	Vorwort	6
	Inhaltsverzeichnis	8
	1 Grundlagen	12
	1.1 Logik und Mengen	12
	1.1.1 Aussagenlogik	12
	1.1.2 Mengen	15
	1.2 Zahlen	18
	1.2.1 Natürliche Zahlen	18
	1.2.2 Ganze Zahlen	19
	1.2.3 Rationale Zahlen	20
	1.2.4 Reelle Zahlen	21
	1.2.5 Ordnung	23
	1.2.6 Intervalle	24
	1.2.7 Betrag und Signum	25
	1.2.8 Summe und Produkt	28
	1.3 Potenz und Wurzel	29
	1.3.1 Potenzen	29
	1.3.2 Potenzgesetze	30
	1.3.3 Wurzeln	30
	1.3.4 Binomischer Satz	31
	1.4 Trigonometrie	33
	1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck	33
	1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß	35
	1.4.3 Sinus- und Kosinussatz	36
	1.5 Gleichungen und Ungleichungen	37
	1.5.1 Lineare Gleichungen	38
	1.5.2 Potenzgleichungen	39
	1.5.3 Quadratische Gleichungen	39
	1.5.4 Wurzelgleichungen	41
	1.5.5 Ungleichungen	42
	1.6 Beweise	44
	1.6.1 Direkter Beweis	45
	1.6.2 Indirekter Beweis	45
	1.6.3 Konstruktiver Beweis	46
	1.6.4 Vollständige Induktion	47
	1.7 Aufgaben	48
	2 Lineare Gleichungssysteme	50
	2.1 Einführung	50
	2.2 Gauß-Algorithmus	52
	2.2.1 Äquivalenzumformungen	53
	2.2.2 Vorwärtselimination	54
	2.2.3 Rückwärtseinsetzen	55
	2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren	56
	2.2.5 Rechenschema	57
	2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme	59
	2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung	59
	2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen	60
	2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen	61
	2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme	62
	2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme	63
	2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme	64
	2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern	66
	2.4 Numerische Verfahren	68
	2.4.1 Jakobi-Iteration	68
	2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration	69
	2.5 Anwendungen	70
	2.5.1 Produktion	70
	2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik	71
	2.6 Aufgaben	72
	3 Vektoren	74
	3.1 Der Begriff eines Vektors	74
	3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten	76
	3.2.1 Addition und Subtraktion	76
	3.2.2 Skalare Multiplikation	78
	3.2.3 Skalarprodukt	79
	3.2.4 Vektorprodukt	83
	3.2.5 Spatprodukt	86
	3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung	88
	3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung	90
	3.3.1 Koordinatendarstellung	91
	3.3.2 Addition und Subtraktion	92
	3.3.3 Skalare Multiplikation	93
	3.3.4 Skalarprodukt	93
	3.3.5 Vektorprodukt	95
	3.3.6 Spatprodukt	97
	3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung	97
	3.4 Punkte, Geraden und Ebenen	99
	3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem	99
	3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen	101
	3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen	103
	3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen	104
	3.4.5 Abstände	106
	3.4.6 Winkel	109
	3.5 Anwendungen	111
	3.5.1 Kraft	111
	3.5.2 Arbeit	111
	3.5.3 Drehmoment	112
	3.6 Aufgaben	113
	4 Matrizen	118
	4.1 Der Begriff einer Matrix	118
	4.2 Rechnen mit Matrizen	122
	4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation	123
	4.2.2 Multiplikation von Matrizen	124
	4.3 Determinanten	130
	4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix	130
	4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix	132
	4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix	136
	4.4 Inverse Matrix	139
	4.4.1 Invertierbare Matrizen	140
	4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix	141
	4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem	141
	4.5 Lineare Abbildungen	142
	4.5.1 Matrizen als Abbildungen	142
	4.5.2 Kern, Bild und Rang	144
	4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren	145
	4.7 Numerische Verfahren	150
	4.7.1 Potenzmethode	150
	4.8 Anwendungen	151
	4.8.1 Computergrafik	152
	4.9 Aufgaben	153
	5 Funktionen	156
	5.1 Einführung	156
	5.1.1 Begriff der Funktion	156
	5.1.2 Wertetabelle	159
	5.1.3 Schaubild	159
	5.1.4 Explizite und implizite Darstellung	161
	5.1.5 Abschnittsweise definierte Funktionen	162
	5.1.6 Funktionsschar	163
	5.1.7 Verkettung von Funktionen	164
	5.2 Polynome und rationale Funktionen	168
	5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen	168
	5.2.2 Polynome	170
	5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen	177
	5.3 Eigenschaften	185
	5.3.1 Symmetrie	185
	5.3.2 Periode	189
	5.3.3 Monotonie	190
	5.3.4 Beschränktheit	191
	5.4 Sinus, Kosinus und Tangens	192
	5.4.1 Definition am Einheitskreis	192
	5.4.2 Eigenschaften	194
	5.4.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion	196
	5.5 Grenzwert und Stetigkeit	198
	5.5.1 Zahlenfolgen	199
	5.5.2 Grenzwert einer Funktion	205
	5.5.3 Stetigkeit	207
	5.5.4 Asymptotisches Verhalten	212
	5.6 Exponential- und Hyperbelfunktionen	216
	5.6.1 Exponentialfunktionen	216
	5.6.2 Die e-Funktion	218
	5.6.3 Hyperbelfunktionen	220
	5.7 Umkehrfunktionen	223
	5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion	223
	5.7.2 Wurzelfunktionen	225
	5.7.3 Arkusfunktionen	226
	5.7.4 Logarithmusfunktionen	230
	5.7.5 Area-Funktionen	233
	5.8 Numerische Verfahren	234
	5.8.1 Berechnung von Funktionswerten	234
	5.8.2 Bisektionsverfahren	235
	5.9 Anwendungen	237
	5.9.1 Messwerte	237
	5.9.2 Industrieroboter	239
	5.10 Aufgaben	240
	6 Differenzialrechnung	246
	6.1 Steigung und Ableitungsfunktion	246
	6.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit	1
	6.1.2 Differenzial	250
	6.1.3 Ableitungsfunktion	250
	6.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung	254
	6.1.5 Höhere Ableitungen	255
	6.2 Ableitungstechnik	256
	6.2.1 Ableitungsregeln	256
	6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion	261
	6.2.3 Logarithmisches Differenzieren	263
	6.2.4 Implizites Differenzieren	264
	6.2.5 Zusammenfassung	265
	6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital	266
	6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen	270
	6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel	270
	6.4.2 Monotonie	272
	6.4.3 Krümmung	273
	6.4.4 Lokale Extrema	274
	6.4.5 Wendepunkte	278
	6.4.6 Globale Extrema	279
	6.5 Numerische Verfahren	280
	6.5.1 Numerische Differenziation	281
	6.5.2 Newton-Verfahren	282
	6.5.3 Sekantenverfahren	284
	6.6 Anwendungen	285
	6.6.1 Fehlerrechnung	285
	6.6.2 Extremwertaufgaben	287
	6.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit	289
	6.7 Aufgaben	290
	7 Integralrechnung	296
	7.1 Flächenproblem	296
	7.1.1 Integralsymbol	296
	7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen	297
	7.1.3 Bestimmtes Integral	299
	7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral	300
	7.2.1 Integralfunktion	300
	7.2.2 Stammfunktion	302
	7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion	304
	7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung	305
	7.3 Integrationstechnik	307
	7.3.1 Integrationsregeln	307
	7.3.2 Integration durch Substitution	311
	7.3.3 Partielle Integration	318
	7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen	320
	7.3.5 Uneigentliche Integrale	323
	7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen	326
	7.4.1 Flächeninhalte	326
	7.4.2 Bogenlänge	328
	7.4.3 Rotationskörper	330
	7.5 Numerische Verfahren	334
	7.5.1 Trapezregel	335
	7.5.2 Romberg-Verfahren	337
	7.6 Anwendungen	337
	7.6.1 Effektivwert	337
	7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen	338
	7.7 Aufgaben	342
	8 Potenzreihen	346
	8.1 Unendliche Reihen	347
	8.2 Potenzreihen und Konvergenz	351
	8.3 Taylor-Reihen	352
	8.4 Eigenschaften	354
	8.5 Numerische Verfahren	360
	8.5.1 Berechnung von Funktionswerten	360
	8.6 Anwendungen	361
	8.6.1 Normalverteilung in der Statistik	361
	8.7 Aufgaben	362
	9 Kurven	364
	9.1 Parameterdarstellung	364
	9.2 Kegelschnitte	367
	9.3 Tangente	373
	9.4 Krümmung	375
	9.5 Bogenlänge	378
	9.6 Numerische Verfahren	380
	9.6.1 Bézier-Kurve	380
	9.7 Anwendungen	382
	9.7.1 Mechanik	382
	9.7.2 Straßenbau	383
	9.8 Aufgaben	385
	10 Funktionen mit mehreren Variablen	388
	10.1 Definition und Darstellung	388
	10.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen	388
	10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen	389
	10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien	389
	10.2 Grenzwert und Stetigkeit	393
	10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen	393
	10.2.2 Stetigkeit	394
	10.3 Differenziation	395
	10.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit	395
	10.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene	398
	10.3.3 Gradient und Richtungsableitung	400
	10.3.4 Differenzial	403
	10.3.5 Höhere partielle Ableitungen	406
	10.3.6 Extremwerte	408
	10.4 Ausgleichsrechnung	410
	10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate	410
	10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen	411
	10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung	415
	10.5 Vektorwertige Funktionen	416
	10.5.1 Definition einer vektorwertigen Funktion	417
	10.6 Numerische Verfahren	418
	10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren	418
	10.6.2 Gradientenverfahren	420
	10.7 Anwendungen	422
	10.7.1 Fehlerrechnung	422
	10.8 Aufgaben	424
	11 Komplexe Zahlen und Funktionen	426
	11.1 Definition und Darstellung	426
	11.1.1 Komplexe Zahlen	426
	11.1.2 Gaußsche Zahlenebene	427
	11.1.3 Polarkoordinaten	428
	11.1.4 Exponentialform	430
	11.2 Rechenregeln	432
	11.2.1 Gleichheit	432
	11.2.2 Addition und Subtraktion	432
	11.2.3 Multiplikation und Division	433
	11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl	435
	11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl	435
	11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome	437
	11.3.1 Potenzen	438
	11.3.2 Wurzeln	438
	11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra	441
	11.4 Komplexe Funktionen	443
	11.4.1 Ortskurven	444
	11.4.2 Harmonische Schwingungen	445
	11.4.3 Transformationen	449
	11.5 Anwendungen	453
	11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung	453
	11.6 Aufgaben	454
	12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	456
	12.1 Einführung	456
	12.1.1 Grundbegriffe	456
	12.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem	459
	12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie	461
	12.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar	463
	12.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung	464
	12.2.1 Separation der Variablen	465
	12.2.2 Lineare Substitution	467
	12.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen	468
	12.3 Lineare Differenzialgleichungen	469
	12.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen	469
	12.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung	472
	12.3.3 Allgemeine Eigenschaften	476
	12.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	479
	12.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen	492
	12.4.1 Allgemeine Form	492
	12.4.2 Freie Schwingung	493
	12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung	495
	12.4.4 Frequenzgänge	499
	12.5 Differenzialgleichungssysteme	501
	12.5.1 Eliminationsverfahren	501
	12.5.2 Zustandsvariablen	503
	12.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten	505
	12.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System	511
	12.5.5 Stabilität	513
	12.6 Numerische Verfahren	517
	12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler	517
	12.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme	519
	12.7 Anwendungen	520
	12.7.1 Temperaturverlauf	520
	12.7.2 Radioaktiver Zerfall	520
	12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand	521
	12.7.4 Feder-Masse-Schwinger	522
	12.7.5 Pendel	523
	12.7.6 Wechselstromkreise	523
	12.8 Aufgaben	526
	13 Fourier-Reihen	530
	13.1 Fourier-Analyse	530
	13.1.1 Periodische Funktionen	530
	13.1.2 Trigonometrische Polynome	532
	13.1.3 Fourier-Reihe	534
	13.1.4 Satz von Fourier	535
	13.1.5 Gibbssches Phänomen	538
	13.2 Komplexe Darstellung	540
	13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe	540
	13.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten	542
	13.2.3 Spektrum	544
	13.2.4 Minimaleigenschaft	547
	13.3 Eigenschaften	549
	13.3.1 Symmetrie	549
	13.3.2 Integrationsintervall	550
	13.3.3 Mittelwert	551
	13.3.4 Linearität	551
	13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	553
	13.3.6 Zeitverschiebung	554
	13.4 Aufgaben	556
	14 Verallgemeinerte Funktionen	558
	14.1 Heaviside-Funktion	558
	14.2 Dirac-Distribution	560
	14.3 Verallgemeinerte Ableitung	562
	14.4 Faltung	564
	14.5 Aufgaben	567
	15 Fourier-Transformation	568
	15.1 Integraltransformation	568
	15.1.1 Definition	568
	15.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil	570
	15.1.3 Sinus- und Kosinustransformation	572
	15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen	573
	15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase	575
	15.2 Eigenschaften	576
	15.2.1 Linearität	577
	15.2.2 Zeitverschiebung	578
	15.2.3 Amplitudenmodulation	580
	15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	582
	15.3 Inverse Fourier-Transformation	583
	15.3.1 Definition	583
	15.3.2 Vertauschungssatz	585
	15.3.3 Linearität	586
	15.4 Differenziation, Integration und Faltung	586
	15.4.1 Differenziation im Zeitbereich	586
	15.4.2 Differenziation im Frequenzbereich	588
	15.4.3 Multiplikationssatz	588
	15.4.4 Integration	589
	15.4.5 Faltung	590
	15.5 Periodische Funktionen	590
	15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe	591
	15.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe	591
	15.5.3 Grenzwertbetrachtung	593
	15.6 Anwendungen	595
	15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme	595
	15.6.2 Tiefpassfilter	597
	15.7 Aufgaben	599
	16 Laplace-Transformation	602
	16.1 Bildbereich	602
	16.1.1 Definition	602
	16.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation	605
	16.2 Eigenschaften	606
	16.2.1 Linearität	606
	16.2.2 Ähnlichkeit	607
	16.2.3 Zeitverschiebung	608
	16.2.4 Dämpfung	609
	16.3 Differenziation, Integration und Faltung	610
	16.3.1 Differenziation im Zeitbereich	610
	16.3.2 Integration	612
	16.3.3 Faltung	613
	16.3.4 Grenzwerte	614
	16.4 Transformation periodischer Funktionen	614
	16.5 Rücktransformation	616
	16.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen	617
	16.7 Anwendungen	623
	16.7.1 Regelungstechnik	623
	16.8 Aufgaben	626
	17 z-Transformation	628
	17.1 Transformation diskreter Signale	628
	17.1.1 Definition	628
	17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation	630
	17.2 Eigenschaften	631
	17.2.1 Linearität	631
	17.2.2 Verschiebung	632
	17.2.3 Dämpfung	633
	17.2.4 Vorwärtsdifferenzen	633
	17.3 Lösung von Differenzengleichungen	634
	17.4 Anwendungen	636
	17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort	636
	A Anhang	638
	A.1 Ableitungsregeln	638
	A.2 Ableitungen	638
	A.3 Potenzreihen	639
	A.4 Integralregeln	639
	A.5 Integrale	640
	A.6 Fourier-Reihen	641
	A.7 Fourier-Transformationen	643
	A.8 Laplace-Transformationen	645
	A.9 Griechisches Alphabet	646
	A.10 Bedeutende Mathematiker	647
	Literaturverzeichnis	664
	Sachwortverzeichnis	666

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