Mathematik für das Ingenieurstudium

von: Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Carl Hanser Fachbuchverlag, 2015

ISBN: 9783446441583

Sprache: Deutsch

738 Seiten, Download: 7333 KB

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Mathematik für das Ingenieurstudium

	Inhaltsverzeichnis	8
	1 Grundlagen	20
	1.1 Logik und Mengen	20
	1.1.1 Aussagenlogik	20
	1.1.2 Mengen	23
	1.2 Zahlen	26
	1.2.1 Natürliche Zahlen	26
	1.2.2 Ganze Zahlen	27
	1.2.3 Rationale Zahlen	28
	1.2.4 Reelle Zahlen	29
	1.2.5 Ordnung	31
	1.2.6 Intervalle	32
	1.2.7 Betrag und Signum	33
	1.2.8 Summe und Produkt	36
	1.3 Potenz und Wurzel	37
	1.3.1 Potenzen	37
	1.3.2 Potenzgesetze	38
	1.3.3 Wurzeln	38
	1.3.4 Binomischer Satz	39
	1.4 Trigonometrie	41
	1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck	41
	1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß	43
	1.4.3 Sinus- und Kosinussatz	44
	1.5 Gleichungen und Ungleichungen	45
	1.5.1 Lineare Gleichungen	46
	1.5.2 Potenzgleichungen	47
	1.5.3 Quadratische Gleichungen	47
	1.5.4 Wurzelgleichungen	49
	1.5.5 Ungleichungen	50
	1.6 Beweise	52
	1.6.1 Direkter Beweis	53
	1.6.2 Indirekter Beweis	53
	1.6.3 Konstruktiver Beweis	54
	1.6.4 Vollständige Induktion	55
	1.7 Aufgaben	56
	2 Lineare Gleichungssysteme	58
	2.1 Einführung	58
	2.2 Gauß-Algorithmus	60
	2.2.1 Äquivalenzumformungen	61
	2.2.2 Vorwärtselimination	62
	2.2.3 Rückwärtseinsetzen	63
	2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren	64
	2.2.5 Rechenschema	65
	2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme	67
	2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung	67
	2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen	68
	2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen	69
	2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme	70
	2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme	71
	2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme	72
	2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern	74
	2.4 Numerische Verfahren	76
	2.4.1 Jacobi-Iteration	76
	2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration	77
	2.5 Anwendungen	78
	2.5.1 Produktion	78
	2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik	79
	2.6 Aufgaben	80
	3 Vektoren	82
	3.1 Der Begriff eines Vektors	82
	3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten	84
	3.2.1 Addition und Subtraktion	84
	3.2.2 Skalare Multiplikation	86
	3.2.3 Skalarprodukt	87
	3.2.4 Vektorprodukt	91
	3.2.5 Spatprodukt	94
	3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung	96
	3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung	98
	3.3.1 Koordinatendarstellung	99
	3.3.2 Addition und Subtraktion	100
	3.3.3 Skalare Multiplikation	101
	3.3.4 Skalarprodukt	101
	3.3.5 Vektorprodukt	103
	3.3.6 Spatprodukt	105
	3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung	105
	3.4 Punkte, Geraden und Ebenen	107
	3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem	107
	3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen	109
	3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen	111
	3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen	112
	3.4.5 Abstände	114
	3.4.6 Winkel	117
	3.5 Anwendungen	119
	3.5.1 Kraft	119
	3.5.2 Arbeit	119
	3.5.3 Drehmoment	120
	3.6 Aufgaben	121
	4 Matrizen	126
	4.1 Der Begriff einer Matrix	126
	4.2 Rechnen mit Matrizen	130
	4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation	131
	4.2.2 Multiplikation von Matrizen	132
	4.3 Determinanten	138
	4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix	138
	4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix	140
	4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix	144
	4.4 Inverse Matrix	147
	4.4.1 Invertierbare Matrizen	148
	4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix	149
	4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem	150
	4.5 Lineare Abbildungen	150
	4.5.1 Matrizen als Abbildungen	150
	4.5.2 Kern, Bild und Rang	152
	4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren	153
	4.7 Numerische Verfahren	158
	4.8 Anwendungen	159
	4.9 Aufgaben	161
	5 Funktionen	164
	5.1 Relationen und Funktionen	164
	5.1.1 Relationen	164
	5.1.2 Funktionen	165
	5.2 Reelle Funktionen	167
	5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge	167
	5.2.2 Wertetabelle und Schaubild	169
	5.2.3 Explizite und implizite Darstellung	171
	5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen	172
	5.2.5 Funktionsschar	174
	5.2.6 Verkettung von Funktionen	175
	5.3 Eigenschaften	178
	5.3.1 Symmetrie	179
	5.3.2 Periode	182
	5.3.3 Monotonie	183
	5.3.4 Beschränktheit	184
	5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion	185
	5.5 Anwendungen	188
	5.5.1 Messwerte	188
	5.5.2 Kennfelder	189
	5.6 Aufgaben	190
	6 Elementare Funktionen	192
	6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen	192
	6.1.1 Potenzfunktionen	192
	6.1.2 Wurzelfunktionen	194
	6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen	195
	6.2.1 Polynome	195
	6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen	203
	6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen	211
	6.3.1 Definition am Einheitskreis	211
	6.3.2 Eigenschaften	212
	6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion	215
	6.3.4 Arkusfunktionen	217
	6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen	222
	6.4.1 Exponentialfunktionen	222
	6.4.2 Die e-Funktion	223
	6.4.3 Logarithmusfunktionen	225
	6.5 Hyperbel- und Areafunktionen	228
	6.5.1 Hyperbelfunktionen	228
	6.5.2 Areafunktionen	230
	6.6 Anwendungen	231
	6.6.1 Freileitungen	231
	6.6.2 Industrieroboter	232
	6.7 Aufgaben	233
	7 Folgen, Grenzwert und Stetigkeit	236
	7.1 Folgen	236
	7.1.1 Zahlenfolgen	236
	7.1.2 Grenzwert einer Folge	240
	7.2 Funktionsgrenzwerte	244
	7.3 Stetigkeit	246
	7.4 Asymptotisches Verhalten	251
	7.5 Numerische Verfahren	255
	7.5.1 Berechnung von Funktionswerten	256
	7.5.2 Bisektionsverfahren	257
	7.6 Anwendungen	259
	7.7 Aufgaben	260
	8 Differenzialrechnung	262
	8.1 Steigung und Ableitungsfunktion	262
	8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit	262
	8.1.2 Differenzial	266
	8.1.3 Ableitungsfunktion	266
	8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung	270
	8.1.5 Höhere Ableitungen	271
	8.2 Ableitungstechnik	272
	8.2.1 Ableitungsregeln	272
	8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion	277
	8.2.3 Logarithmisches Differenzieren	279
	8.2.4 Implizites Differenzieren	280
	8.2.5 Zusammenfassung	281
	8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital	282
	8.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen	286
	8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel	286
	8.4.2 Monotonie	288
	8.4.3 Krümmung	289
	8.4.4 Lokale Extrema	290
	8.4.5 Wendepunkte	294
	8.4.6 Globale Extrema	295
	8.5 Numerische Verfahren	296
	8.5.1 Numerische Differenziation	297
	8.5.2 Newton-Verfahren	298
	8.5.3 Sekantenverfahren	300
	8.6 Anwendungen	301
	8.6.1 Fehlerrechnung	301
	8.6.2 Extremwertaufgaben	303
	8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit	305
	8.7 Aufgaben	306
	9 Integralrechnung	312
	9.1 Flächenproblem	312
	9.1.1 Integralsymbol	312
	9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen	313
	9.1.3 Bestimmtes Integral	315
	9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral	316
	9.2.1 Integralfunktion	316
	9.2.2 Stammfunktion	318
	9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion	320
	9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung	321
	9.3 Integrationstechnik	323
	9.3.1 Integrationsregeln	323
	9.3.2 Integration durch Substitution	327
	9.3.3 Partielle Integration	334
	9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen	336
	9.3.5 Uneigentliche Integrale	339
	9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen	342
	9.4.1 Flächeninhalte	342
	9.4.2 Bogenlänge	344
	9.4.3 Rotationskörper	346
	9.5 Numerische Verfahren	350
	9.5.1 Trapezregel	351
	9.5.2 Romberg-Verfahren	353
	9.6 Anwendungen	353
	9.6.1 Effektivwert	353
	9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen	354
	9.7 Aufgaben	358
	10 Potenzreihen	362
	10.1 Unendliche Reihen	363
	10.2 Potenzreihen und Konvergenz	367
	10.3 Taylor-Reihen	368
	10.4 Eigenschaften	370
	10.5 Numerische Verfahren	376
	10.6 Anwendungen	377
	10.7 Aufgaben	378
	11 Kurven	380
	11.1 Parameterdarstellung	380
	11.2 Kegelschnitte	383
	11.3 Tangente	389
	11.4 Krümmung	391
	11.5 Bogenlänge	394
	11.6 Numerische Verfahren	396
	11.7 Anwendungen	398
	11.7.1 Mechanik	398
	11.7.2 Straßenbau	399
	11.8 Aufgaben	401
	12 Funktionen mit mehreren Variablen	404
	12.1 Definition und Darstellung	404
	12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen	404
	12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen	405
	12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien	405
	12.2 Grenzwert und Stetigkeit	409
	12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen	409
	12.2.2 Stetigkeit	410
	12.3 Differenziation	411
	12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit	411
	12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene	414
	12.3.3 Gradient und Richtungsableitung	416
	12.3.4 Differenzial	419
	12.3.5 Höhere partielle Ableitungen	422
	12.3.6 Extremwerte	424
	12.4 Ausgleichsrechnung	426
	12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate	426
	12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen	427
	12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung	431
	12.5 Vektorwertige Funktionen	433
	12.6 Numerische Verfahren	434
	12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren	434
	12.6.2 Gradientenverfahren	436
	12.7 Anwendungen	438
	12.8 Aufgaben	440
	13 Komplexe Zahlen und Funktionen	442
	13.1 Definition und Darstellung	442
	13.1.1 Komplexe Zahlen	442
	13.1.2 Gaußsche Zahlenebene	443
	13.1.3 Polarkoordinaten	444
	13.1.4 Exponentialform	446
	13.2 Rechenregeln	448
	13.2.1 Gleichheit	448
	13.2.2 Addition und Subtraktion	448
	13.2.3 Multiplikation und Division	449
	13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl	451
	13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl	451
	13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome	453
	13.3.1 Potenzen	454
	13.3.2 Wurzeln	454
	13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra	457
	13.4 Komplexe Funktionen	459
	13.4.1 Ortskurven	460
	13.4.2 Harmonische Schwingungen	461
	13.4.3 Transformationen	465
	13.5 Anwendungen	469
	13.6 Aufgaben	470
	14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	472
	14.1 Einführung	472
	14.1.1 Grundbegriffe	472
	14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem	475
	14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie	477
	14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar	479
	14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung	480
	14.2.1 Separation der Variablen	481
	14.2.2 Lineare Substitution	483
	14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen	484
	14.3 Lineare Differenzialgleichungen	485
	14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen	485
	14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung	488
	14.3.3 Allgemeine Eigenschaften	492
	14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	495
	14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen	508
	14.4.1 Allgemeine Form	508
	14.4.2 Freie Schwingung	509
	14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung	511
	14.4.4 Frequenzgänge	515
	14.5 Differenzialgleichungssysteme	517
	14.5.1 Eliminationsverfahren	517
	14.5.2 Zustandsvariablen	519
	14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten	521
	14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System	527
	14.5.5 Stabilität	529
	14.6 Numerische Verfahren	533
	14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler	533
	14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme	535
	14.7 Anwendungen	536
	14.7.1 Temperaturverlauf	536
	14.7.2 Radioaktiver Zerfall	536
	14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand	537
	14.7.4 Feder-Masse-Schwinger	538
	14.7.5 Pendel	539
	14.7.6 Wechselstromkreise	539
	14.8 Aufgaben	542
	15 Differenzengleichungen	546
	15.1 Lineare Differenzengleichungen	546
	15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung	548
	15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung	550
	15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen	554
	15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung	555
	15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung	557
	15.2.3 Asymptotisches Verhalten	558
	15.3 Anwendungen	560
	15.4 Aufgaben	561
	16 Fourier-Reihen	562
	16.1 Fourier-Analyse	562
	16.1.1 Periodische Funktionen	562
	16.1.2 Trigonometrische Polynome	564
	16.1.3 Fourier-Reihe	566
	16.1.4 Satz von Fourier	567
	16.1.5 Gibbssches Phänomen	570
	16.2 Komplexe Darstellung	572
	16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe	572
	16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten	574
	16.2.3 Spektrum	576
	16.2.4 Minimaleigenschaft	579
	16.3 Eigenschaften	581
	16.3.1 Symmetrie	581
	16.3.2 Integrationsintervall	582
	16.3.3 Mittelwert	583
	16.3.4 Linearität	583
	16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	585
	16.3.6 Zeitverschiebung	586
	16.4 Aufgaben	588
	17 Verallgemeinerte Funktionen	590
	17.1 Heaviside-Funktion	590
	17.2 Dirac-Distribution	592
	17.3 Verallgemeinerte Ableitung	594
	17.4 Faltung	596
	17.5 Anwendungen	600
	17.6 Aufgaben	601
	18 Fourier-Transformation	602
	18.1 Integraltransformation	602
	18.1.1 Definition	602
	18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil	604
	18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation	606
	18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen	607
	18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase	609
	18.2 Eigenschaften	610
	18.2.1 Linearität	611
	18.2.2 Zeitverschiebung	612
	18.2.3 Amplitudenmodulation	614
	18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	616
	18.3 Inverse Fourier-Transformation	617
	18.3.1 Definition	617
	18.3.2 Vertauschungssatz	619
	18.3.3 Linearität	620
	18.4 Differenziation, Integration und Faltung	620
	18.4.1 Differenziation im Zeitbereich	620
	18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich	622
	18.4.3 Multiplikationssatz	622
	18.4.4 Integration	623
	18.4.5 Faltung	624
	18.5 Periodische Funktionen	624
	18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe	625
	18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe	625
	18.5.3 Grenzwertbetrachtung	627
	18.6 Anwendungen	629
	18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme	629
	18.6.2 Tiefpassfilter	631
	18.7 Aufgaben	633
	19 Laplace-Transformation	636
	19.1 Bildbereich	636
	19.1.1 Definition	636
	19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation	639
	19.2 Eigenschaften	640
	19.2.1 Linearität	640
	19.2.2 Ähnlichkeit	641
	19.2.3 Zeitverschiebung	642
	19.2.4 Dämpfung	643
	19.3 Differenziation, Integration und Faltung	644
	19.3.1 Differenziation	644
	19.3.2 Integration	646
	19.3.3 Faltung	647
	19.3.4 Grenzwerte	648
	19.4 Transformation periodischer Funktionen	648
	19.5 Rücktransformation	650
	19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen	651
	19.7 Anwendungen	657
	19.8 Aufgaben	660
	20 z-Transformation	662
	20.1 Transformation diskreter Signale	662
	20.1.1 Definition	662
	20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation	664
	20.2 Eigenschaften	665
	20.2.1 Linearität	665
	20.2.2 Dämpfung	666
	20.2.3 Verschiebung	666
	20.2.4 Vorwärtsdifferenzen	667
	20.2.5 Multiplikationssatz	668
	20.2.6 Diskrete Faltung	669
	20.3 Lösung von Differenzengleichungen	671
	20.4 Anwendungen	674
	20.5 Aufgaben	676
	21 Elementare Zahlentheorie	678
	21.1 Teilbarkeit	678
	21.2 Kongruente Zahlen	682
	21.3 Primzahlen	687
	21.4 Aufgaben	691
	A Anhang	692
	A.1 Bedeutende Mathematiker	692
	A.2 Trigonometrische Funktionen	709
	A.3 Ableitungen	710
	A.4 Ableitungsregeln	710
	A.5 Integrale	711
	A.6 Integralregeln	712
	A.7 Potenzreihen	712
	A.8 Fourier-Reihen	713
	A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation	715
	A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation	717
	A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation	718
	A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation	719
	A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen	720
	A.14 Eigenschaften der z-Transformationen	720
	A.15 Griechisches Alphabet	721
	Literaturverzeichnis	722
	Sachwortverzeichnis	724

Mathematik für das Ingenieurstudium

von: Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Mathematik für das Ingenieurstudium

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