Basiswissen Rechnerstrukturen & Betriebssysteme

2 Schaltalgebra bzw. Boole’sche Algebra (S. 9)

Die zweiwertige Logik nimmt eine besondere Bedeutung in der Rechnerentwicklung ein, da Daten mit physikalischen Größen besonders gut durch zwei Werte dargestellt und weiterverarbeitet werden können. Beispiele dazu sind elektrische Spannungen und Ströme, die jeweils durch ihr Vorhandensein (=1) oder Nichtvorhandensein (=0) modelliert werden können.

Ein mathematisches Hilfsmittel, das die Beschreibung von digitalen Systemen auf Basis einer zweiwertigen Logik ermöglicht, ist unerlässlich. Die Boole’sche Algebra – auch Schaltalgebra genannt – stellt ein derartiges Hilfsmittel dar und wird in diesen Unterkapiteln näher erläutert. Logische Aussagen und deren Verknüpfungen dienen als Grundlage von Boole’schen Ausdrücken:


»Aussagen«, S. 10 Algebraische Darstellungsformen und das Vorgehen bei der Auswertung von Boole’schen Ausdrücken werden vorgestellt:


»Boole’sche Ausdrücke«, S. 14 Es gibt neben der algebraischen Darstellung weitere Darstellungsformen für Boole’sche Funktionen, einer besonderen Form Boole’scher Ausdrücke:


»Boole’sche Funktionen«, S. 22 Um die algebraische Darstellung einer Boole’schen Funktion so weit wie möglich zu vereinfachen, gibt es verschiedene Minimierungsverfahren:


»Minimierung Boole’scher Funktionen «, S. 28 Wichtige Regeln der Boole’schen Algebra, die besonders häufig im Rahmen verschiedener Umformungen und Vereinfachungen notwendig sind, werden vorgestellt:


»Zusammenfassung der Umformungsregeln«, S. 40

2.1 Aussagen

Aussagen sind Sätze, die wahr oder falsch sein können. Solche Sätze können auf verschiedene Arten miteinander verknüpft werden, so dass auch die entstehende Gesamtaussage einen Wahrheitswert abhängig von den einzelnen Teilen besitzt.

Zur Untersuchung von physikalischen Phänomenen wird gewöhnlich eine Abstraktion vorgenommen, um im Laufe der Untersuchung Trugschlüsse aus falschen Vorstellungen heraus zu vermeiden. In der Physik werden beispielsweise häufig algebraische Formeln zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge verwendet. Ganz analog ist es in der sogenannten Aussagenlogik.

Hier sind die Objekte der Untersuchung einfach Sätze. Ein Satz (genauer: das, was ein Satz ausdrückt) kann richtig oder falsch sein. Man sagt: Die Aussage (des Satzes) kann richtig oder falsch sein. Betrachtet werden die in Tab. 2.1-1 aufgeführten Sätze. Beziehungen innerhalb eines Satzes, etwa zwischen Subjekt und Prädikat, sollen unberücksichtigt bleiben.

Nimmt man z. B. den Gegenstand »zwei Ziffern« und die Eigenschaft »gleich sein«, so entsteht erst durch die Vereinigung von Gegenstand und Eigenschaft eine Aussage: »Zwei Ziffern sind gleich«.

Boole’sche Variablen

Aus der genannten Überlegung erhält man in der Boole’schen Algebra Variablen (Boole’sche Variablen), die jeweils zwei Werte annehmen, und dem Wahrheitswert einer Aussage entsprechen. Für die beiden möglichen Wahrheitswerte sind in der Literatur zum Beispiel die folgenden Symbole gebräuchlich: (F für falsch, W für wahr), (F für false, T für true), (L für Low, H für High) oder (0, 1). Im Weiteren werden die Bezeichnungen (0, 1) verwendet.

Grundverknüpfungen

Aussagen können miteinander (sprachlich mit Bindewörtern) verknüpft werden. Weiterhin können die Aussagen manipuliert werden, zum Beispiel um das Gegenteil einer Aussage auszudrücken.

Es sollen mit den folgenden Aussagen über zwei n-stellige Zahlen X und Y und ihren Ziffern xi und yimit (i=0, ..., n-1) Verknüpfungen gebildet werden.