Mathematik für das Ingenieurstudium

von: Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Carl Hanser Fachbuchverlag, 2018

ISBN: 9783446455818

Sprache: Deutsch

751 Seiten, Download: 24490 KB

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Mathematik für das Ingenieurstudium

	Vorwort	6
	Inhaltsverzeichnis	8
	1 Grundlagen	20
	1.1 Logik und Mengen	20
	1.1.1 Aussagenlogik	20
	1.1.2 Mengen	23
	1.2 Zahlen	26
	1.2.1 Natürliche Zahlen	26
	1.2.2 Ganze Zahlen	27
	1.2.3 Rationale Zahlen	28
	1.2.4 Reelle Zahlen	29
	1.2.5 Ordnung	31
	1.2.6 Intervalle	32
	1.2.7 Betrag und Signum	33
	1.2.8 Summe und Produkt	36
	1.3 Potenz und Wurzel	37
	1.3.1 Potenzen	37
	1.3.2 Potenzgesetze	38
	1.3.3 Wurzeln	38
	1.3.4 Binomischer Satz	39
	1.4 Trigonometrie	41
	1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck	41
	1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß	43
	1.4.3 Sinus- und Kosinussatz	44
	1.5 Gleichungen und Ungleichungen	45
	1.5.1 Lineare Gleichungen	46
	1.5.2 Potenzgleichungen	47
	1.5.3 Quadratische Gleichungen	47
	1.5.4 Wurzelgleichungen	49
	1.5.5 Ungleichungen	50
	1.6 Beweise	52
	1.6.1 Direkter Beweis	53
	1.6.2 Indirekter Beweis	53
	1.6.3 Konstruktiver Beweis	54
	1.6.4 Vollständige Induktion	55
	1.7 Aufgaben	57
	2 Lineare Gleichungssysteme	62
	2.1 Einführung	62
	2.2 Gauß-Algorithmus	64
	2.2.1 Äquivalenzumformungen	65
	2.2.2 Vorwärtselimination	66
	2.2.3 Rückwärtseinsetzen	67
	2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren	68
	2.2.5 Rechenschema	69
	2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme	71
	2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung	71
	2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen	72
	2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen	73
	2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme	74
	2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme	75
	2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme	76
	2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern	78
	2.4 Numerische Verfahren	80
	2.4.1 Jacobi-Iteration	80
	2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration	81
	2.5 Anwendungen	82
	2.5.1 Produktion	82
	2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik	83
	2.6 Aufgaben	84
	3 Vektoren	86
	3.1 Der Begriff eines Vektors	86
	3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten	88
	3.2.1 Addition und Subtraktion	88
	3.2.2 Skalare Multiplikation	90
	3.2.3 Skalarprodukt	91
	3.2.4 Vektorprodukt	95
	3.2.5 Spatprodukt	97
	3.2.6 Lineare Unabhängigkeit	99
	3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung	103
	3.3.1 Koordinatendarstellung	104
	3.3.2 Addition und Subtraktion	105
	3.3.3 Skalare Multiplikation	106
	3.3.4 Skalarprodukt	106
	3.3.5 Vektorprodukt	108
	3.3.6 Spatprodukt	110
	3.3.7 Lineare Unabhängigkeit	110
	3.4 Punkte, Geraden und Ebenen	113
	3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem	113
	3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen	115
	3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen	117
	3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen	118
	3.4.5 Abstände	120
	3.4.6 Winkel	123
	3.5 Anwendungen	125
	3.5.1 Kraft	125
	3.5.2 Arbeit	125
	3.5.3 Drehmoment	126
	3.6 Aufgaben	127
	4 Matrizen	132
	4.1 Der Begriff einer Matrix	132
	4.2 Rechnen mit Matrizen	136
	4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation	137
	4.2.2 Multiplikation von Matrizen	138
	4.3 Determinanten	144
	4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix	144
	4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix	146
	4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix	150
	4.4 Inverse Matrix	153
	4.4.1 Invertierbare Matrizen	154
	4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix	155
	4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem	156
	4.4.4 Orthogonale Matrizen	156
	4.5 Lineare Abbildungen	157
	4.5.1 Matrizen als Abbildungen	157
	4.5.2 Koordinatentransformation	158
	4.5.3 Kern, Bild und Rang	160
	4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren	161
	4.7 Numerische Verfahren	167
	4.8 Anwendungen	168
	4.9 Aufgaben	170
	5 Funktionen	174
	5.1 Relationen und Funktionen	174
	5.1.1 Relationen	174
	5.1.2 Funktionen	175
	5.2 Reelle Funktionen	177
	5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge	177
	5.2.2 Wertetabelle und Schaubild	179
	5.2.3 Explizite und implizite Darstellung	181
	5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen	182
	5.2.5 Funktionsschar	184
	5.2.6 Verkettung von Funktionen	185
	5.3 Eigenschaften	188
	5.3.1 Symmetrie	189
	5.3.2 Periode	192
	5.3.3 Monotonie	193
	5.3.4 Beschränktheit	194
	5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion	195
	5.5 Anwendungen	198
	5.5.1 Messwerte	198
	5.5.2 Kennfelder	199
	5.6 Aufgaben	200
	6 Elementare Funktionen	202
	6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen	202
	6.1.1 Potenzfunktionen	202
	6.1.2 Wurzelfunktionen	204
	6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen	205
	6.2.1 Polynome	205
	6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen	213
	6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen	221
	6.3.1 Definition am Einheitskreis	221
	6.3.2 Eigenschaften	222
	6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion	225
	6.3.4 Arkusfunktionen	227
	6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen	232
	6.4.1 Exponentialfunktionen	232
	6.4.2 Die e-Funktion	233
	6.4.3 Logarithmusfunktionen	235
	6.5 Hyperbel- und Areafunktionen	238
	6.5.1 Hyperbelfunktionen	238
	6.5.2 Areafunktionen	240
	6.6 Anwendungen	241
	6.6.1 Freileitungen	241
	6.6.2 Industrieroboter	242
	6.7 Aufgaben	243
	7 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit	246
	7.1 Folgen	246
	7.1.1 Zahlenfolgen	246
	7.1.2 Grenzwert einer Folge	250
	7.2 Funktionsgrenzwerte	254
	7.3 Stetigkeit	256
	7.4 Asymptotisches Verhalten	261
	7.5 Numerische Verfahren	265
	7.5.1 Berechnung von Funktionswerten	266
	7.5.2 Bisektionsverfahren	267
	7.6 Anwendungen	269
	7.7 Aufgaben	270
	8 Differenzialrechnung	272
	8.1 Steigung und Ableitungsfunktion	272
	8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit	272
	8.1.2 Differenzial	276
	8.1.3 Ableitungsfunktion	276
	8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung	280
	8.1.5 Höhere Ableitungen	281
	8.2 Ableitungstechnik	282
	8.2.1 Ableitungsregeln	282
	8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion	287
	8.2.3 Logarithmisches Differenzieren	289
	8.2.4 Implizites Differenzieren	290
	8.2.5 Zusammenfassung	291
	8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital	292
	8.4 Geometrische Bedeutung der 8.4 Ableitungen	296
	8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel	296
	8.4.2 Monotonie	298
	8.4.3 Krümmung	299
	8.4.4 Lokale Extrema	300
	8.4.5 Wendepunkte	304
	8.4.6 Globale Extrema	305
	8.5 Numerische Verfahren	306
	8.5.1 Numerische Differenziation	307
	8.5.2 Newton-Verfahren	308
	8.5.3 Sekantenverfahren	310
	8.6 Anwendungen	311
	8.6.1 Fehlerrechnung	311
	8.6.2 Extremwertaufgaben	313
	8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit	315
	8.7 Aufgaben	316
	9 Integralrechnung	322
	9.1 Flächenproblem	322
	9.1.1 Integralsymbol	322
	9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen	323
	9.1.3 Bestimmtes Integral	325
	9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral	326
	9.2.1 Integralfunktion	326
	9.2.2 Stammfunktion	328
	9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion	330
	9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung	331
	9.3 Integrationstechnik	333
	9.3.1 Integrationsregeln	333
	9.3.2 Integration durch Substitution	337
	9.3.3 Partielle Integration	344
	9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen	346
	9.3.5 Uneigentliche Integrale	349
	9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen	352
	9.4.1 Flächeninhalte	352
	9.4.2 Bogenlänge	354
	9.4.3 Rotationskörper	356
	9.5 Numerische Verfahren	360
	9.5.1 Trapezregel	361
	9.5.2 Romberg-Verfahren	363
	9.6 Anwendungen	363
	9.6.1 Effektivwert	363
	9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen	364
	9.7 Aufgaben	368
	10 Potenzreihen	372
	10.1 Unendliche Reihen	373
	10.2 Potenzreihen und Konvergenz	377
	10.3 Taylor-Reihen	378
	10.4 Eigenschaften	380
	10.5 Numerische Verfahren	386
	10.6 Anwendungen	387
	10.7 Aufgaben	388
	11 Kurven	390
	11.1 Parameterdarstellung	390
	11.2 Kegelschnitte	393
	11.3 Tangente	399
	11.4 Krümmung	401
	11.5 Bogenlänge	404
	11.6 Numerische Verfahren	406
	11.7 Anwendungen	408
	11.7.1 Mechanik	408
	11.7.2 Straßenbau	409
	11.8 Aufgaben	411
	12 Funktionen mit mehreren Variablen	414
	12.1 Definition und Darstellung	414
	12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen	414
	12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen	415
	12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien	415
	12.2 Grenzwert und Stetigkeit	419
	12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen	419
	12.2.2 Stetigkeit	420
	12.3 Differenziation	421
	12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit	421
	12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene	424
	12.3.3 Gradient und Richtungsableitung	426
	12.3.4 Differenzial	429
	12.3.5 Höhere partielle Ableitungen	432
	12.3.6 Extremwerte	434
	12.4 Ausgleichsrechnung	436
	12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate	436
	12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen	437
	12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung	441
	12.5 Vektorwertige Funktionen	443
	12.6 Numerische Verfahren	444
	12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren	444
	12.6.2 Gradientenverfahren	446
	12.7 Anwendungen	448
	12.8 Aufgaben	450
	13 Komplexe Zahlen und Funktionen	452
	13.1 Definition und Darstellung	452
	13.1.1 Komplexe Zahlen	452
	13.1.2 Gaußsche Zahlenebene	453
	13.1.3 Polarkoordinaten	454
	13.1.4 Exponentialform	456
	13.2 Rechenregeln	458
	13.2.1 Gleichheit	458
	13.2.2 Addition und Subtraktion	458
	13.2.3 Multiplikation und Division	459
	13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl	461
	13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl	461
	13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome	463
	13.3.1 Potenzen	464
	13.3.2 Wurzeln	464
	13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra	467
	13.4 Komplexe Funktionen	469
	13.4.1 Ortskurven	470
	13.4.2 Harmonische Schwingungen	471
	13.4.3 Transformationen	475
	13.5 Anwendungen	479
	13.6 Aufgaben	480
	14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	482
	14.1 Einführung	482
	14.1.1 Grundbegriffe	482
	14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem	485
	14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie	487
	14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar	489
	14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung	490
	14.2.1 Separation der Variablen	491
	14.2.2 Lineare Substitution	493
	14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen	494
	14.3 Lineare Differenzialgleichungen	495
	14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen	495
	14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung	498
	14.3.3 Allgemeine Eigenschaften	502
	14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	505
	14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen	518
	14.4.1 Allgemeine Form	518
	14.4.2 Freie Schwingung	519
	14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung	521
	14.4.4 Frequenzgänge	525
	14.5 Differenzialgleichungssysteme	527
	14.5.1 Eliminationsverfahren	527
	14.5.2 Zustandsvariablen	529
	14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten	531
	14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System	537
	14.5.5 Stabilität	539
	14.6 Numerische Verfahren	543
	14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler	543
	14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme	545
	14.7 Anwendungen	546
	14.7.1 Temperaturverlauf	546
	14.7.2 Radioaktiver Zerfall	546
	14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand	547
	14.7.4 Feder-Masse-Schwinger	548
	14.7.5 Pendel	549
	14.7.6 Wechselstromkreise	549
	14.8 Aufgaben	552
	15 Differenzengleichungen	558
	15.1 Lineare Differenzengleichungen	558
	15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung	560
	15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung	562
	15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen	566
	15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung	567
	15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung	569
	15.2.3 Asymptotisches Verhalten	570
	15.3 Anwendungen	572
	15.4 Aufgaben	573
	16 Fourier-Reihen	574
	16.1 Fourier-Analyse	574
	16.1.1 Periodische Funktionen	574
	16.1.2 Trigonometrische Polynome	576
	16.1.3 Fourier-Reihe	578
	16.1.4 Satz von Fourier	579
	16.1.5 Gibbssches Phänomen	582
	16.2 Komplexe Darstellung	584
	16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe	584
	16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten	586
	16.2.3 Spektrum	588
	16.2.4 Minimaleigenschaft	591
	16.3 Eigenschaften	593
	16.3.1 Symmetrie	593
	16.3.2 Integrationsintervall	594
	16.3.3 Mittelwert	595
	16.3.4 Linearität	595
	16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	597
	16.3.6 Zeitverschiebung	598
	16.4 Aufgaben	600
	17 Verallgemeinerte Funktionen	602
	17.1 Heaviside-Funktion	602
	17.2 Dirac-Distribution	604
	17.3 Verallgemeinerte Ableitung	606
	17.4 Faltung	608
	17.5 Anwendungen	612
	17.6 Aufgaben	613
	18 Fourier-Transformation	614
	18.1 Integraltransformation	614
	18.1.1 Definition	614
	18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil	616
	18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation	618
	18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen	619
	18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase	621
	18.2 Eigenschaften	622
	18.2.1 Linearität	623
	18.2.2 Zeitverschiebung	624
	18.2.3 Amplitudenmodulation	626
	18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	628
	18.3 Inverse Fourier-Transformation	629
	18.3.1 Definition	629
	18.3.2 Vertauschungssatz	631
	18.3.3 Linearität	632
	18.4 Differenziation, Integration und Faltung	632
	18.4.1 Differenziation im Zeitbereich	632
	18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich	634
	18.4.3 Multiplikationssatz	634
	18.4.4 Integration	635
	18.4.5 Faltung	636
	18.5 Periodische Funktionen	636
	18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe	637
	18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe	637
	18.5.3 Grenzwertbetrachtung	639
	18.6 Anwendungen	641
	18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme	641
	18.6.2 Tiefpassfilter	643
	18.7 Aufgaben	645
	19 Laplace-Transformation	648
	19.1 Bildbereich	648
	19.1.1 Definition	648
	19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation	651
	19.2 Eigenschaften	652
	19.2.1 Linearität	652
	19.2.2 Ähnlichkeit	653
	19.2.3 Zeitverschiebung	654
	19.2.4 Dämpfung	655
	19.3 Differenziation, Integration und Faltung	656
	19.3.1 Differenziation	656
	19.3.2 Integration	658
	19.3.3 Faltung	659
	19.3.4 Grenzwerte	660
	19.4 Transformation periodischer Funktionen	660
	19.5 Rücktransformation	662
	19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen	663
	19.7 Anwendungen	669
	19.8 Aufgaben	672
	20 z-Transformation	674
	20.1 Transformation diskreter Signale	674
	20.1.1 Definition	674
	20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation	676
	20.2 Eigenschaften	677
	20.2.1 Linearität	677
	20.2.2 Dämpfung	677
	20.2.3 Verschiebung	678
	20.2.4 Vorwärtsdifferenzen	679
	20.2.5 Multiplikationssatz	680
	20.2.6 Diskrete Faltung	681
	20.3 Lösung von Differenzengleichungen	683
	20.4 Anwendungen	686
	20.5 Aufgaben	688
	21 Elementare Zahlentheorie	690
	21.1 Teilbarkeit	690
	21.2 Kongruente Zahlen	694
	21.3 Primzahlen	699
	21.4 Anwendungen	703
	21.4.1 International Bank Account Number (IBAN)	703
	21.4.2 Linearer Kongruenzgenerator für Pseudozufallszahlen	704
	21.5 Aufgaben	705
	A Anhang	706
	A.1 Bedeutende Mathematiker	706
	A.2 Trigonometrische Funktionen	725
	A.3 Ableitungen	726
	A.4 Ableitungsregeln	726
	A.5 Integrale	727
	A.6 Integralregeln	728
	A.7 Potenzreihen	728
	A.8 Fourier-Reihen	729
	A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation	731
	A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation	733
	A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation	734
	A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation	735
	A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen	736
	A.14 Eigenschaften der z-Transformationen	736
	A.15 Griechisches Alphabet	737
	Literaturverzeichnis	738
	Sachwortverzeichnis	740

Mathematik für das Ingenieurstudium

von: Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Mathematik für das Ingenieurstudium

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