Mathematik für das Ingenieurstudium

Mathematik für das Ingenieurstudium

 

 

 

von: Jürgen Koch, Martin Stämpfle

Carl Hanser Fachbuchverlag, 2018

ISBN: 9783446455818

Sprache: Deutsch

751 Seiten, Download: 24490 KB

 
Format:  PDF

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Mathematik für das Ingenieurstudium



  Vorwort 6  
  Inhaltsverzeichnis 8  
  1 Grundlagen 20  
     1.1 Logik und Mengen 20  
        1.1.1 Aussagenlogik 20  
        1.1.2 Mengen 23  
     1.2 Zahlen 26  
        1.2.1 Natürliche Zahlen 26  
        1.2.2 Ganze Zahlen 27  
        1.2.3 Rationale Zahlen 28  
        1.2.4 Reelle Zahlen 29  
        1.2.5 Ordnung 31  
        1.2.6 Intervalle 32  
        1.2.7 Betrag und Signum 33  
        1.2.8 Summe und Produkt 36  
     1.3 Potenz und Wurzel 37  
        1.3.1 Potenzen 37  
        1.3.2 Potenzgesetze 38  
        1.3.3 Wurzeln 38  
        1.3.4 Binomischer Satz 39  
     1.4 Trigonometrie 41  
        1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck 41  
        1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß 43  
        1.4.3 Sinus- und Kosinussatz 44  
     1.5 Gleichungen und Ungleichungen 45  
        1.5.1 Lineare Gleichungen 46  
        1.5.2 Potenzgleichungen 47  
        1.5.3 Quadratische Gleichungen 47  
        1.5.4 Wurzelgleichungen 49  
        1.5.5 Ungleichungen 50  
     1.6 Beweise 52  
        1.6.1 Direkter Beweis 53  
        1.6.2 Indirekter Beweis 53  
        1.6.3 Konstruktiver Beweis 54  
        1.6.4 Vollständige Induktion 55  
     1.7 Aufgaben 57  
  2 Lineare Gleichungssysteme 62  
     2.1 Einführung 62  
     2.2 Gauß-Algorithmus 64  
        2.2.1 Äquivalenzumformungen 65  
        2.2.2 Vorwärtselimination 66  
        2.2.3 Rückwärtseinsetzen 67  
        2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren 68  
        2.2.5 Rechenschema 69  
     2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme 71  
        2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung 71  
        2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen 72  
        2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen 73  
        2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 74  
        2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 75  
        2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme 76  
        2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern 78  
     2.4 Numerische Verfahren 80  
        2.4.1 Jacobi-Iteration 80  
        2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration 81  
     2.5 Anwendungen 82  
        2.5.1 Produktion 82  
        2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik 83  
     2.6 Aufgaben 84  
  3 Vektoren 86  
     3.1 Der Begriff eines Vektors 86  
     3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten 88  
        3.2.1 Addition und Subtraktion 88  
        3.2.2 Skalare Multiplikation 90  
        3.2.3 Skalarprodukt 91  
        3.2.4 Vektorprodukt 95  
        3.2.5 Spatprodukt 97  
        3.2.6 Lineare Unabhängigkeit 99  
     3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung 103  
        3.3.1 Koordinatendarstellung 104  
        3.3.2 Addition und Subtraktion 105  
        3.3.3 Skalare Multiplikation 106  
        3.3.4 Skalarprodukt 106  
        3.3.5 Vektorprodukt 108  
        3.3.6 Spatprodukt 110  
        3.3.7 Lineare Unabhängigkeit 110  
     3.4 Punkte, Geraden und Ebenen 113  
        3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem 113  
        3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen 115  
        3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen 117  
        3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen 118  
        3.4.5 Abstände 120  
        3.4.6 Winkel 123  
     3.5 Anwendungen 125  
        3.5.1 Kraft 125  
        3.5.2 Arbeit 125  
        3.5.3 Drehmoment 126  
     3.6 Aufgaben 127  
  4 Matrizen 132  
     4.1 Der Begriff einer Matrix 132  
     4.2 Rechnen mit Matrizen 136  
        4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation 137  
        4.2.2 Multiplikation von Matrizen 138  
     4.3 Determinanten 144  
        4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix 144  
        4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix 146  
        4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix 150  
     4.4 Inverse Matrix 153  
        4.4.1 Invertierbare Matrizen 154  
        4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix 155  
        4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem 156  
        4.4.4 Orthogonale Matrizen 156  
     4.5 Lineare Abbildungen 157  
        4.5.1 Matrizen als Abbildungen 157  
        4.5.2 Koordinatentransformation 158  
        4.5.3 Kern, Bild und Rang 160  
     4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 161  
     4.7 Numerische Verfahren 167  
     4.8 Anwendungen 168  
     4.9 Aufgaben 170  
  5 Funktionen 174  
     5.1 Relationen und Funktionen 174  
        5.1.1 Relationen 174  
        5.1.2 Funktionen 175  
     5.2 Reelle Funktionen 177  
        5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge 177  
        5.2.2 Wertetabelle und Schaubild 179  
        5.2.3 Explizite und implizite Darstellung 181  
        5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen 182  
        5.2.5 Funktionsschar 184  
        5.2.6 Verkettung von Funktionen 185  
     5.3 Eigenschaften 188  
        5.3.1 Symmetrie 189  
        5.3.2 Periode 192  
        5.3.3 Monotonie 193  
        5.3.4 Beschränktheit 194  
     5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion 195  
     5.5 Anwendungen 198  
        5.5.1 Messwerte 198  
        5.5.2 Kennfelder 199  
     5.6 Aufgaben 200  
  6 Elementare Funktionen 202  
     6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen 202  
        6.1.1 Potenzfunktionen 202  
        6.1.2 Wurzelfunktionen 204  
     6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen 205  
        6.2.1 Polynome 205  
        6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen 213  
     6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen 221  
        6.3.1 Definition am Einheitskreis 221  
        6.3.2 Eigenschaften 222  
        6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 225  
        6.3.4 Arkusfunktionen 227  
     6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 232  
        6.4.1 Exponentialfunktionen 232  
        6.4.2 Die e-Funktion 233  
        6.4.3 Logarithmusfunktionen 235  
     6.5 Hyperbel- und Areafunktionen 238  
        6.5.1 Hyperbelfunktionen 238  
        6.5.2 Areafunktionen 240  
     6.6 Anwendungen 241  
        6.6.1 Freileitungen 241  
        6.6.2 Industrieroboter 242  
     6.7 Aufgaben 243  
  7 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit 246  
     7.1 Folgen 246  
        7.1.1 Zahlenfolgen 246  
        7.1.2 Grenzwert einer Folge 250  
     7.2 Funktionsgrenzwerte 254  
     7.3 Stetigkeit 256  
     7.4 Asymptotisches Verhalten 261  
     7.5 Numerische Verfahren 265  
        7.5.1 Berechnung von Funktionswerten 266  
        7.5.2 Bisektionsverfahren 267  
     7.6 Anwendungen 269  
     7.7 Aufgaben 270  
  8 Differenzialrechnung 272  
     8.1 Steigung und Ableitungsfunktion 272  
        8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit 272  
        8.1.2 Differenzial 276  
        8.1.3 Ableitungsfunktion 276  
        8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 280  
        8.1.5 Höhere Ableitungen 281  
     8.2 Ableitungstechnik 282  
        8.2.1 Ableitungsregeln 282  
        8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion 287  
        8.2.3 Logarithmisches Differenzieren 289  
        8.2.4 Implizites Differenzieren 290  
        8.2.5 Zusammenfassung 291  
     8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital 292  
     8.4 Geometrische Bedeutung der 8.4 Ableitungen 296  
        8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel 296  
        8.4.2 Monotonie 298  
        8.4.3 Krümmung 299  
        8.4.4 Lokale Extrema 300  
        8.4.5 Wendepunkte 304  
        8.4.6 Globale Extrema 305  
     8.5 Numerische Verfahren 306  
        8.5.1 Numerische Differenziation 307  
        8.5.2 Newton-Verfahren 308  
        8.5.3 Sekantenverfahren 310  
     8.6 Anwendungen 311  
        8.6.1 Fehlerrechnung 311  
        8.6.2 Extremwertaufgaben 313  
        8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit 315  
     8.7 Aufgaben 316  
  9 Integralrechnung 322  
     9.1 Flächenproblem 322  
        9.1.1 Integralsymbol 322  
        9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen 323  
        9.1.3 Bestimmtes Integral 325  
     9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral 326  
        9.2.1 Integralfunktion 326  
        9.2.2 Stammfunktion 328  
        9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion 330  
        9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 331  
     9.3 Integrationstechnik 333  
        9.3.1 Integrationsregeln 333  
        9.3.2 Integration durch Substitution 337  
        9.3.3 Partielle Integration 344  
        9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen 346  
        9.3.5 Uneigentliche Integrale 349  
     9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen 352  
        9.4.1 Flächeninhalte 352  
        9.4.2 Bogenlänge 354  
        9.4.3 Rotationskörper 356  
     9.5 Numerische Verfahren 360  
        9.5.1 Trapezregel 361  
        9.5.2 Romberg-Verfahren 363  
     9.6 Anwendungen 363  
        9.6.1 Effektivwert 363  
        9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen 364  
     9.7 Aufgaben 368  
  10 Potenzreihen 372  
     10.1 Unendliche Reihen 373  
     10.2 Potenzreihen und Konvergenz 377  
     10.3 Taylor-Reihen 378  
     10.4 Eigenschaften 380  
     10.5 Numerische Verfahren 386  
     10.6 Anwendungen 387  
     10.7 Aufgaben 388  
  11 Kurven 390  
     11.1 Parameterdarstellung 390  
     11.2 Kegelschnitte 393  
     11.3 Tangente 399  
     11.4 Krümmung 401  
     11.5 Bogenlänge 404  
     11.6 Numerische Verfahren 406  
     11.7 Anwendungen 408  
        11.7.1 Mechanik 408  
        11.7.2 Straßenbau 409  
     11.8 Aufgaben 411  
  12 Funktionen mit mehreren Variablen 414  
     12.1 Definition und Darstellung 414  
        12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen 414  
        12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen 415  
        12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien 415  
     12.2 Grenzwert und Stetigkeit 419  
        12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen 419  
        12.2.2 Stetigkeit 420  
     12.3 Differenziation 421  
        12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit 421  
        12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene 424  
        12.3.3 Gradient und Richtungsableitung 426  
        12.3.4 Differenzial 429  
        12.3.5 Höhere partielle Ableitungen 432  
        12.3.6 Extremwerte 434  
     12.4 Ausgleichsrechnung 436  
        12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate 436  
        12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen 437  
        12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung 441  
     12.5 Vektorwertige Funktionen 443  
     12.6 Numerische Verfahren 444  
        12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren 444  
        12.6.2 Gradientenverfahren 446  
     12.7 Anwendungen 448  
     12.8 Aufgaben 450  
  13 Komplexe Zahlen und Funktionen 452  
     13.1 Definition und Darstellung 452  
        13.1.1 Komplexe Zahlen 452  
        13.1.2 Gaußsche Zahlenebene 453  
        13.1.3 Polarkoordinaten 454  
        13.1.4 Exponentialform 456  
     13.2 Rechenregeln 458  
        13.2.1 Gleichheit 458  
        13.2.2 Addition und Subtraktion 458  
        13.2.3 Multiplikation und Division 459  
        13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl 461  
        13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl 461  
     13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome 463  
        13.3.1 Potenzen 464  
        13.3.2 Wurzeln 464  
        13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra 467  
     13.4 Komplexe Funktionen 469  
        13.4.1 Ortskurven 470  
        13.4.2 Harmonische Schwingungen 471  
        13.4.3 Transformationen 475  
     13.5 Anwendungen 479  
     13.6 Aufgaben 480  
  14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 482  
     14.1 Einführung 482  
        14.1.1 Grundbegriffe 482  
        14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem 485  
        14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie 487  
        14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar 489  
     14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 490  
        14.2.1 Separation der Variablen 491  
        14.2.2 Lineare Substitution 493  
        14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen 494  
     14.3 Lineare Differenzialgleichungen 495  
        14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen 495  
        14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 498  
        14.3.3 Allgemeine Eigenschaften 502  
        14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 505  
     14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen 518  
        14.4.1 Allgemeine Form 518  
        14.4.2 Freie Schwingung 519  
        14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung 521  
        14.4.4 Frequenzgänge 525  
     14.5 Differenzialgleichungssysteme 527  
        14.5.1 Eliminationsverfahren 527  
        14.5.2 Zustandsvariablen 529  
        14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 531  
        14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System 537  
        14.5.5 Stabilität 539  
     14.6 Numerische Verfahren 543  
        14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler 543  
        14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme 545  
     14.7 Anwendungen 546  
        14.7.1 Temperaturverlauf 546  
        14.7.2 Radioaktiver Zerfall 546  
        14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand 547  
        14.7.4 Feder-Masse-Schwinger 548  
        14.7.5 Pendel 549  
        14.7.6 Wechselstromkreise 549  
     14.8 Aufgaben 552  
  15 Differenzengleichungen 558  
     15.1 Lineare Differenzengleichungen 558  
        15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung 560  
        15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung 562  
     15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen 566  
        15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung 567  
        15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung 569  
        15.2.3 Asymptotisches Verhalten 570  
     15.3 Anwendungen 572  
     15.4 Aufgaben 573  
  16 Fourier-Reihen 574  
     16.1 Fourier-Analyse 574  
        16.1.1 Periodische Funktionen 574  
        16.1.2 Trigonometrische Polynome 576  
        16.1.3 Fourier-Reihe 578  
        16.1.4 Satz von Fourier 579  
        16.1.5 Gibbssches Phänomen 582  
     16.2 Komplexe Darstellung 584  
        16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe 584  
        16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten 586  
        16.2.3 Spektrum 588  
        16.2.4 Minimaleigenschaft 591  
     16.3 Eigenschaften 593  
        16.3.1 Symmetrie 593  
        16.3.2 Integrationsintervall 594  
        16.3.3 Mittelwert 595  
        16.3.4 Linearität 595  
        16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr 597  
        16.3.6 Zeitverschiebung 598  
     16.4 Aufgaben 600  
  17 Verallgemeinerte Funktionen 602  
     17.1 Heaviside-Funktion 602  
     17.2 Dirac-Distribution 604  
     17.3 Verallgemeinerte Ableitung 606  
     17.4 Faltung 608  
     17.5 Anwendungen 612  
     17.6 Aufgaben 613  
  18 Fourier-Transformation 614  
     18.1 Integraltransformation 614  
        18.1.1 Definition 614  
        18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil 616  
        18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation 618  
        18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen 619  
        18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase 621  
     18.2 Eigenschaften 622  
        18.2.1 Linearität 623  
        18.2.2 Zeitverschiebung 624  
        18.2.3 Amplitudenmodulation 626  
        18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr 628  
     18.3 Inverse Fourier-Transformation 629  
        18.3.1 Definition 629  
        18.3.2 Vertauschungssatz 631  
        18.3.3 Linearität 632  
     18.4 Differenziation, Integration und Faltung 632  
        18.4.1 Differenziation im Zeitbereich 632  
        18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich 634  
        18.4.3 Multiplikationssatz 634  
        18.4.4 Integration 635  
        18.4.5 Faltung 636  
     18.5 Periodische Funktionen 636  
        18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe 637  
        18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe 637  
        18.5.3 Grenzwertbetrachtung 639  
     18.6 Anwendungen 641  
        18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme 641  
        18.6.2 Tiefpassfilter 643  
     18.7 Aufgaben 645  
  19 Laplace-Transformation 648  
     19.1 Bildbereich 648  
        19.1.1 Definition 648  
        19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation 651  
     19.2 Eigenschaften 652  
        19.2.1 Linearität 652  
        19.2.2 Ähnlichkeit 653  
        19.2.3 Zeitverschiebung 654  
        19.2.4 Dämpfung 655  
     19.3 Differenziation, Integration und Faltung 656  
        19.3.1 Differenziation 656  
        19.3.2 Integration 658  
        19.3.3 Faltung 659  
        19.3.4 Grenzwerte 660  
     19.4 Transformation periodischer Funktionen 660  
     19.5 Rücktransformation 662  
     19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 663  
     19.7 Anwendungen 669  
     19.8 Aufgaben 672  
  20 z-Transformation 674  
     20.1 Transformation diskreter Signale 674  
        20.1.1 Definition 674  
        20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation 676  
     20.2 Eigenschaften 677  
        20.2.1 Linearität 677  
        20.2.2 Dämpfung 677  
        20.2.3 Verschiebung 678  
        20.2.4 Vorwärtsdifferenzen 679  
        20.2.5 Multiplikationssatz 680  
        20.2.6 Diskrete Faltung 681  
     20.3 Lösung von Differenzengleichungen 683  
     20.4 Anwendungen 686  
     20.5 Aufgaben 688  
  21 Elementare Zahlentheorie 690  
     21.1 Teilbarkeit 690  
     21.2 Kongruente Zahlen 694  
     21.3 Primzahlen 699  
     21.4 Anwendungen 703  
        21.4.1 International Bank Account Number (IBAN) 703  
        21.4.2 Linearer Kongruenzgenerator für Pseudozufallszahlen 704  
     21.5 Aufgaben 705  
  A Anhang 706  
     A.1 Bedeutende Mathematiker 706  
     A.2 Trigonometrische Funktionen 725  
     A.3 Ableitungen 726  
     A.4 Ableitungsregeln 726  
     A.5 Integrale 727  
     A.6 Integralregeln 728  
     A.7 Potenzreihen 728  
     A.8 Fourier-Reihen 729  
     A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 731  
     A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation 733  
     A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 734  
     A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation 735  
     A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen 736  
     A.14 Eigenschaften der z-Transformationen 736  
     A.15 Griechisches Alphabet 737  
  Literaturverzeichnis 738  
  Sachwortverzeichnis 740  

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