Numerische Mathematik - Eine beispielorientierte Einführung
von: Michael Knorrenschild
Carl Hanser Fachbuchverlag, 2017
ISBN: 9783446452619
Sprache: Deutsch
186 Seiten, Download: 4883 KB
Format: PDF, auch als Online-Lesen
Inhaltsverzeichnis | 7 | ||
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen | 10 | ||
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik | 10 | ||
1.2 Auslöschung | 17 | ||
1.3 Fehlerrechnung | 18 | ||
1.3.1 Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen | 18 | ||
1.3.2 Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen | 19 | ||
2 Numerische Lösung von Nullstellenproblemen | 26 | ||
2.1 Problemstellung | 26 | ||
2.2 Das Bisektionsverfahren | 26 | ||
2.3 Die Fixpunktiteration | 28 | ||
2.4 Das Newton-Verfahren | 33 | ||
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit | 37 | ||
3 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme | 40 | ||
3.1 Problemstellung | 40 | ||
3.2 Der Gauß-Algorithmus | 41 | ||
3.3 Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung | 46 | ||
3.4 Dreieckszerlegungen von Matrizen | 48 | ||
3.4.1 Die LR-Zerlegung | 48 | ||
3.4.2 Die Cholesky-Zerlegung | 50 | ||
3.4.3 Die QR-Zerlegung | 53 | ||
3.5 Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen | 60 | ||
3.6 Iterative Verfahren | 65 | ||
4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme | 73 | ||
4.1 Problemstellung | 73 | ||
4.2 Das Newton-Verfahren für Systeme | 74 | ||
5 Interpolation | 79 | ||
5.1 Problemstellung | 79 | ||
5.2 Polynominterpolation | 80 | ||
5.2.1 Das Neville-Aitken-Schema | 85 | ||
5.2.2 Der Fehler bei der Polynominterpolation | 86 | ||
5.3 Splineinterpolation | 90 | ||
5.3.1 Problemstellung | 90 | ||
5.3.2 Interpolation mit kubischen Splines | 92 | ||
6 Ausgleichsrechnung | 99 | ||
6.1 Problemstellung | 99 | ||
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme | 100 | ||
6.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme | 107 | ||
6.4 Das Gauß-Newton-Verfahren | 109 | ||
7 Numerische Differenziation und Integration | 113 | ||
7.1 Numerische Differenziation | 113 | ||
7.1.1 Problemstellung | 113 | ||
7.1.2 Differenzenformeln für höhere Ableitungen | 118 | ||
7.1.3 Differenzenformeln für partielle Ableitungen | 119 | ||
7.1.4 Extrapolation | 120 | ||
7.2 Numerische Integration | 127 | ||
7.2.1 Problemstellung | 127 | ||
7.2.2 Interpolatorische Quadraturformeln | 131 | ||
7.2.3 Der Quadraturfehler | 131 | ||
7.2.4 Transformation auf das Intervall [a, b] | 133 | ||
7.2.5 Der Fehler der summierten Quadraturformeln | 135 | ||
7.2.6 Newton-Cotes-Formeln | 137 | ||
7.2.7 Gauß-Formeln | 137 | ||
7.2.8 Extrapolationsquadratur | 140 | ||
7.2.9 Praktische Aspekte | 144 | ||
8 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen | 146 | ||
8.1 Problemstellung | 146 | ||
8.2 Das Euler-Verfahren | 148 | ||
8.3 Praktische Aspekte | 154 | ||
8.4 Weitere Einschrittverfahren | 155 | ||
8.5 Weitere Verfahren | 161 | ||
Lösungen | 163 | ||
Literaturverzeichnis | 182 | ||
Sachwortverzeichnis | 183 |