Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker

Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker

 

 

 

von: Stephan Emanuel Bucher

Carl Hanser Fachbuchverlag, 2015

ISBN: 9783446441798

Sprache: Deutsch

265 Seiten, Download: 28462 KB

 
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Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker



  Vorwort 6  
  Inhalt 8  
  1 Grundlagen 16  
     1.1 Die Zahlen 16  
     1.2 Arithmetische Grundoperationen 17  
     1.3 Rechenregeln 17  
        1.3.1 Reihenfolge der Operanden 17  
        1.3.2 Vorzeichen 17  
        1.3.3 Reihenfolge der Operationen 18  
        1.3.4 Addition und Subtraktion von Klammerausdrücken 19  
        1.3.5 Multiplikation von Klammerausdrücken 19  
     1.4 Bruchrechnen 19  
        1.4.1 Begriffe 19  
        1.4.2 Addition von Brüchen 20  
        1.4.3 Kürzen 21  
        1.4.4 Multiplikation von Brüchen 22  
        1.4.5 Division von Brüchen 22  
        1.4.6 Umwandlung von Dezimalbrüchen in Brüche 23  
     1.5 Potenzen und Wurzeln 23  
        1.5.1 Potenzen 23  
        1.5.2 Quadratische binomische Ausdrücke 24  
        1.5.3 Höhere Potenzen binomischer Ausdrücke 25  
        1.5.4 Wurzeln 26  
     1.6 Logarithmen 27  
        1.6.1 Begriff 27  
        1.6.2 Rechenregeln 28  
        1.6.3 Wechsel der Basis 28  
        1.6.4 Die Bedeutung der Logarithmen 29  
     1.7 Zahlensysteme 30  
     1.8 Übungsaufgaben 31  
        1.8.1 Zu Abschnitt 1.3 31  
        1.8.2 Zu Abschnitt 1.4 32  
        1.8.3 Zu Abschnitt 1.5 33  
        1.8.4 Zu Abschnitt 1.6 34  
  2 Gleichungen 35  
     2.1 Begriffe 35  
     2.2 Das Umformen von Gleichungen 36  
        2.2.1 Begriff 36  
        2.2.2 Äquivalenzumformungen 36  
        2.2.3 Nichtäquivalente Umformungen 36  
     2.3 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 37  
        2.3.1 Lösungsverfahren 37  
        2.3.2 Angewandte Aufgaben 37  
     2.4 Systeme linearer Gleichungen mit ­mehreren Unbekannten 38  
        2.4.1 Grundlagen 38  
        2.4.2 Lösung durch Substitution 39  
        2.4.3 Lösung mit Matrizenrechnung 39  
        2.4.4 Lösung eines Gleichungssystems mit der Determinantenmethode 41  
     2.5 Quadratische Gleichungen 43  
        2.5.1 Allgemeine Lösungsformel 43  
        2.5.2 Der Satz von Vieta 44  
     2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades 45  
        2.6.1 Lösungen 45  
        2.6.2 Lösung mit dem TI-30X Pro 45  
     2.7 Nichtlineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten 46  
        2.7.1 Lösungsverfahren 46  
        2.7.2 Anwendungsbeispiel: Koordinatenbestimmung 46  
     2.8 Wurzelgleichungen 48  
     2.9 Exponentialgleichungen 50  
        2.9.1 Lösungsmethodik 50  
        2.9.2 Zins- und Investitionsrechnung 52  
     2.10 „Unlösbare“ Gleichungen: Der numerische Gleichungslöser des TI-30X Pro 54  
     2.11 Ungleichungen 55  
        2.11.1 Definition 55  
        2.11.2 Das Lösen von Ungleichungen 56  
        2.11.3 Lineare Ungleichungen 56  
        2.11.4 Nichtlineare Ungleichungen 57  
     2.12 Übungsaufgaben 60  
        2.12.1 Zu Abschnitt 2.2 60  
        2.12.2 Zu Abschnitt 2.3 60  
        2.12.3 Zu Abschnitt 2.4 64  
        2.12.4 Zu Abschnitt 2.5 67  
        2.12.5 Zu Abschnitt 2.6 68  
        2.12.6 Zu Abschnitt 2.7 69  
        2.12.7 Zu Abschnitt 2.8 70  
        2.12.8 Zu Abschnitt 2.9 70  
        2.12.9 Zu Abschnitt 2.10 71  
  3 Trigonometrie 72  
     3.1 Winkel 72  
     3.2 Die Winkelfunktionen 73  
        3.2.1 Definition am rechtwinkligen Dreieck 73  
        3.2.2 Umrechnungen, Darstellung am Einheitskreis 74  
     3.3 Berechnungen am Dreieck 76  
        3.3.1 Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck 76  
        3.3.2 Dreiecksfläche 77  
        3.3.3 Der Sinussatz 77  
        3.3.4 Der Kosinussatz 78  
     3.4 Weitere Formeln 79  
        3.4.1 Additionstheoreme 79  
        3.4.2 Winkelfunktionen für doppelte und halbe Winkel 80  
        3.4.3 Halbwinkelformeln 81  
     3.5 Das Lösen goniometrischer Gleichungen 82  
     3.6 Anwendungen 86  
        3.6.1 Klassische Vermessungsaufgaben 86  
        3.6.2 Vermessung beim Tunnelbau 89  
        3.6.3 Schallmessortung 89  
     3.7 Übungsaufgaben 92  
        3.7.1 Zu Abschnitt 3.2 92  
        3.7.2 Zu Abschnitt 3.3 93  
        3.7.3 Zu Abschnitt 3.4.1 94  
        3.7.4 Zu Abschnitt 3.5 94  
  4 Funktionen 95  
     4.1 Der Funktionsbegriff 95  
     4.2 Lineare Funktionen 96  
        4.2.1 Ganzrationale Funktionen: Begriff und allgemeine Eigenschaften 96  
        4.2.2 Eigenschaften linearer Funktionen 96  
        4.2.3 Anwendungsbeispiel: Schnittpunkt 99  
        4.2.4 Graphische Darstellung linearer Gleichungssysteme 100  
        4.2.5 Lineare Ungleichungen in 2 Variablen 101  
        4.2.6 Systeme linearer Ungleichungen in 2 Variablen 102  
        4.2.7 Lineare Optimierung 103  
     4.3 Quadratische Funktionen 106  
     4.4 Ganzrationale Funktionen höheren Grades 108  
     4.5 Anwendung ganzrationaler Funktionen 111  
     4.6 Gebrochenrationale Funktionen 115  
        4.6.1 Begriff und allgemeine Eigenschaften 115  
        4.6.2 Asymptoten 116  
     4.7 Potenz- und Wurzelfunktionen 118  
        4.7.1 Potenzfunktionen 118  
        4.7.2 Wurzelfunktionen 118  
        4.7.3 Beispiele 119  
     4.8 Exponentialfunktionen 123  
        4.8.1 Allgemeine Eigenschaften 123  
        4.8.2 Beispiele 124  
           Radioaktiver Zerfall 125  
     4.9 Logarithmusfunktionen 128  
     4.10 Trigonometrische Funktionen 128  
        4.10.1 Periodizität 128  
        4.10.2 Funktionen mit Parametern 129  
        4.10.3 Schwingungen in der Technik 130  
     4.11 Umkehrfunktionen 131  
        4.11.1 Begriff 131  
        4.11.2 Bestimmung der Umkehrfunktion 131  
        4.11.3 Einige Funktionen und ihre Umkehrungen 132  
        4.11.4 Temperaturskala 132  
     4.12 Übungsaufgaben 133  
        4.12.1 Zu Abschnitt 4.2 133  
        4.12.2 Zu Abschnitt 4.3 136  
        4.12.3 Zu Abschnitt 4.11.4 137  
  5 Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik 138  
     5.1 Einführung 138  
     5.2 Zufall und Wahrscheinlichkeit 139  
     5.3 Einfache Kombinatorik 142  
     5.4 Binomialverteilung 144  
        5.4.1 Grundlagen 144  
        5.4.2 Anwendungsbeispiel: Qualitätskontrolle 146  
        5.4.3 Verallgemeinerung: Multinomiale Verteilung 148  
     5.5 Beschreibung einer statistischen ­Gesamtheit 148  
        5.5.1 Streuung 148  
        5.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 148  
        5.5.3 Mittelwert und Standardabweichung 151  
        5.5.4 Beschreibung einer Gesamtheit von Daten mit Kenngrößen 152  
     5.6 Die Normalverteilung 153  
     5.7 Messdatenauswertung 157  
        5.7.1 Resultatangabe und Vertrauensintervall 157  
        5.7.2 Ausgleichsrechnung 158  
     5.8 Statistische Entscheidungsfindung 162  
        5.8.1 Statistisches Testen 162  
        5.8.2 Prozessbeherrschung 164  
     5.9 Elektronische Hilfsmittel 165  
     5.10 Übungsaufgaben 166  
        5.10.1 Zu Abschnitt 5.4 166  
        5.10.2 Zu Abschnitt 5.5 167  
        5.10.3 Zu Abschnitt 5.6 168  
        5.10.4 Zu Abschnitt 5.7 168  
        5.10.5 Zu Abschnitt 5.8 171  
  6 Komplexe Zahlen 173  
     6.1 Definition und Grundbegriffe 173  
        6.1.1 Definition 173  
        6.1.2 Die Gauß’sche Zahlenebene 174  
        6.1.3 Komplexe Konjugation 174  
        6.1.4 Betrag 174  
        6.1.5 Argument 174  
     6.2 Darstellungsformen 175  
        6.2.1 Algebraische Form 175  
        6.2.2 Trigonometrische Form 175  
        6.2.3 Umrechnungen 175  
     6.3 Die vier Grundrechenarten 176  
        6.3.1 Addition und Subtraktion 176  
        6.3.2 Multiplikation und Division 176  
        6.3.3 Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung 177  
        6.3.4 Möglichkeiten des TI-30X Pro 177  
     6.4 Höhere Rechenarten 178  
        6.4.1 Potenzen 178  
        6.4.2 Wurzeln 178  
        6.4.3 Exponentialfunktion 178  
     6.5 Der Fundamentalsatz der Algebra 179  
     6.6 Die Lösungsformel der kubischen ­Gleichung 180  
     6.7 Anwendung: Wechselstromrechnung ­(Kurzer Abriss) 181  
        6.7.1 Einführung 181  
        6.7.2 Überlagerung von zwei Wechselspannungen 182  
        6.7.3 Komplexe Widerstände (Impedanzen) 183  
  7 Folgen und Reihen 185  
     7.1 Begriffe und Definitionen 185  
        7.1.1 Folgen 185  
        7.1.2 Reihen 186  
     7.2 Arithmetische Folgen und Reihen 187  
        7.2.1 Arithmetische Folgen 187  
        7.2.2 Arithmetische Reihen 187  
     7.3 Geometrische Folgen und Reihen 188  
        7.3.1 Geometrische Folgen 188  
        7.3.2 Geometrische Reihen 188  
        7.3.3 Unendliche geometrische Reihen 188  
     7.4 Anwendung: Potenzreihen bekannter ­Funktionen 189  
     7.5 Übungsaufgaben 190  
        7.5.1 Zu Abschnitt 7.1 190  
        7.5.2 Zu Abschnitt 7.2 190  
        7.5.3 Zu Abschnitt 7.3 191  
  8 Differenzialrechnung 192  
     8.1 Grundlagen 192  
        8.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen 192  
        8.1.2 Grenzwerte von Funktionen 193  
        8.1.3 Stetigkeit 195  
     8.2 Die Ableitung 195  
        8.2.1 Der Differenzialquotient 195  
        8.2.2 Wichtige Ableitungsregeln 196  
        8.2.3 Die Ableitung ganzrationaler Funktionen 198  
        8.2.4 Die Ableitungsfunktion 198  
     8.3 Die Bedeutung der 1. bis 3. Ableitung 199  
        8.3.1 Maxima 199  
        8.3.2 Minima 200  
        8.3.3 Krümmung 200  
        8.3.4 Wendepunkte 201  
        8.3.5 Beispiel 201  
     8.4 Weitere Ableitungsregeln 202  
        8.4.1 Produktregel 202  
        8.4.2 Quotientenregel 202  
        8.4.3 Kettenregel 203  
        8.4.4 Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen 204  
        8.4.5 Die Ableitung von Logarithmusfunktionen 205  
        8.4.6 Die Ableitung der Umkehrfunktion 206  
        8.4.7 Die Ableitung von Exponentialfunktionen 207  
     8.5 Funktionen mit mehreren Variablen 207  
     8.6 Anwendungen 207  
        8.6.1 Kurvendiskussion 207  
        8.6.2 Extremwertprobleme 208  
        8.6.3 Einige Extremalprinzipien aus der Physik 209  
        8.6.4 Ausgleichsrechnung: Beispiel Lineare Regression 211  
        8.6.5 Maschinenbau: Wechselkräfte in einer Kolbenmaschine 212  
        8.6.6 Das Newton-Verfahren zur numerischen Auflösung von Gleichungen 215  
        8.6.7 Vereinfachung des Newton-Verfahrens: Regula falsi 219  
        8.6.8 Bestimmung aller Lösungen einer algebraischen Gleichung 220  
        8.6.9 Parameterbestimmung in der Physik: Gas-Zustandsgleichung 221  
        8.6.10 Fehlerfortpflanzung 223  
        8.6.11 Unsicherheitsabschätzung 224  
     8.7 Übungsaufgaben 225  
        8.7.1 Zu Abschnitt 8.1 225  
        8.7.2 Zu Abschnitt 8.2 226  
        8.7.3 Zu Abschnitt 8.3 226  
        8.7.4 Zu Abschnitt 8.4 226  
        8.7.5 Zu Abschnitt 8.6.2 228  
  9 Integralrechnung 232  
     9.1 Das bestimmte Integral 232  
        9.1.1 Begriffe und Grundlagen 232  
        9.1.2 Berechnung bestimmter Integrale 233  
     9.2 Die Stammfunktion und ihre Ableitung 234  
     9.3 Das unbestimmte Integral 235  
     9.4 Integrationsregeln 236  
        9.4.1 Integrationsregeln aus Ableitungsregeln 236  
        9.4.2 Logarithmische Ableitung 237  
        9.4.3 Partielle Integration 237  
        9.4.4 Integration durch Substitution 238  
     9.5 Numerische Integration 238  
        9.5.1 Integration durch Approximation 238  
        9.5.2 Trapez-Integration 239  
        9.5.3 Romberg-Integration 239  
     9.6 Anwendungen 240  
        9.6.1 Mittelwert einer Funktion in einem Intervall 240  
        9.6.2 Flächenschwerpunkt 241  
        9.6.3 Bogenlänge 242  
        9.6.4 Linienschwerpunkt 243  
        9.6.5 Flächen- und Trägheitsmomente 244  
        9.6.6 Arbeit/Energie bei ortsabhängiger Kraft 245  
        9.6.7 Das RC-Glied 247  
        9.6.8 Leistung des Wechselstroms 248  
        9.6.9 Frequenzanalyse (Fourier-Analyse, harmonische Analyse) 250  
        9.6.10 Seilreibung 254  
        9.6.11 Abkühlung 255  
        9.6.12 Barometrische Höhenformel 257  
        9.6.13 Berechnung des Integrals einer punktweise gegebenen Funktion 258  
        9.6.14 Bewegungsprobleme in der Physik 258  
  Literaturverzeichnis 260  
  Sachwortverzeichnis 262  

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