Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker
von: Stephan Emanuel Bucher
Carl Hanser Fachbuchverlag, 2015
ISBN: 9783446441798
Sprache: Deutsch
265 Seiten, Download: 28462 KB
Format: PDF, auch als Online-Lesen
Vorwort | 6 | ||
Inhalt | 8 | ||
1 Grundlagen | 16 | ||
1.1 Die Zahlen | 16 | ||
1.2 Arithmetische Grundoperationen | 17 | ||
1.3 Rechenregeln | 17 | ||
1.3.1 Reihenfolge der Operanden | 17 | ||
1.3.2 Vorzeichen | 17 | ||
1.3.3 Reihenfolge der Operationen | 18 | ||
1.3.4 Addition und Subtraktion von Klammerausdrücken | 19 | ||
1.3.5 Multiplikation von Klammerausdrücken | 19 | ||
1.4 Bruchrechnen | 19 | ||
1.4.1 Begriffe | 19 | ||
1.4.2 Addition von Brüchen | 20 | ||
1.4.3 Kürzen | 21 | ||
1.4.4 Multiplikation von Brüchen | 22 | ||
1.4.5 Division von Brüchen | 22 | ||
1.4.6 Umwandlung von Dezimalbrüchen in Brüche | 23 | ||
1.5 Potenzen und Wurzeln | 23 | ||
1.5.1 Potenzen | 23 | ||
1.5.2 Quadratische binomische Ausdrücke | 24 | ||
1.5.3 Höhere Potenzen binomischer Ausdrücke | 25 | ||
1.5.4 Wurzeln | 26 | ||
1.6 Logarithmen | 27 | ||
1.6.1 Begriff | 27 | ||
1.6.2 Rechenregeln | 28 | ||
1.6.3 Wechsel der Basis | 28 | ||
1.6.4 Die Bedeutung der Logarithmen | 29 | ||
1.7 Zahlensysteme | 30 | ||
1.8 Übungsaufgaben | 31 | ||
1.8.1 Zu Abschnitt 1.3 | 31 | ||
1.8.2 Zu Abschnitt 1.4 | 32 | ||
1.8.3 Zu Abschnitt 1.5 | 33 | ||
1.8.4 Zu Abschnitt 1.6 | 34 | ||
2 Gleichungen | 35 | ||
2.1 Begriffe | 35 | ||
2.2 Das Umformen von Gleichungen | 36 | ||
2.2.1 Begriff | 36 | ||
2.2.2 Äquivalenzumformungen | 36 | ||
2.2.3 Nichtäquivalente Umformungen | 36 | ||
2.3 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten | 37 | ||
2.3.1 Lösungsverfahren | 37 | ||
2.3.2 Angewandte Aufgaben | 37 | ||
2.4 Systeme linearer Gleichungen mit mehreren Unbekannten | 38 | ||
2.4.1 Grundlagen | 38 | ||
2.4.2 Lösung durch Substitution | 39 | ||
2.4.3 Lösung mit Matrizenrechnung | 39 | ||
2.4.4 Lösung eines Gleichungssystems mit der Determinantenmethode | 41 | ||
2.5 Quadratische Gleichungen | 43 | ||
2.5.1 Allgemeine Lösungsformel | 43 | ||
2.5.2 Der Satz von Vieta | 44 | ||
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades | 45 | ||
2.6.1 Lösungen | 45 | ||
2.6.2 Lösung mit dem TI-30X Pro | 45 | ||
2.7 Nichtlineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten | 46 | ||
2.7.1 Lösungsverfahren | 46 | ||
2.7.2 Anwendungsbeispiel: Koordinatenbestimmung | 46 | ||
2.8 Wurzelgleichungen | 48 | ||
2.9 Exponentialgleichungen | 50 | ||
2.9.1 Lösungsmethodik | 50 | ||
2.9.2 Zins- und Investitionsrechnung | 52 | ||
2.10 „Unlösbare“ Gleichungen: Der numerische Gleichungslöser des TI-30X Pro | 54 | ||
2.11 Ungleichungen | 55 | ||
2.11.1 Definition | 55 | ||
2.11.2 Das Lösen von Ungleichungen | 56 | ||
2.11.3 Lineare Ungleichungen | 56 | ||
2.11.4 Nichtlineare Ungleichungen | 57 | ||
2.12 Übungsaufgaben | 60 | ||
2.12.1 Zu Abschnitt 2.2 | 60 | ||
2.12.2 Zu Abschnitt 2.3 | 60 | ||
2.12.3 Zu Abschnitt 2.4 | 64 | ||
2.12.4 Zu Abschnitt 2.5 | 67 | ||
2.12.5 Zu Abschnitt 2.6 | 68 | ||
2.12.6 Zu Abschnitt 2.7 | 69 | ||
2.12.7 Zu Abschnitt 2.8 | 70 | ||
2.12.8 Zu Abschnitt 2.9 | 70 | ||
2.12.9 Zu Abschnitt 2.10 | 71 | ||
3 Trigonometrie | 72 | ||
3.1 Winkel | 72 | ||
3.2 Die Winkelfunktionen | 73 | ||
3.2.1 Definition am rechtwinkligen Dreieck | 73 | ||
3.2.2 Umrechnungen, Darstellung am Einheitskreis | 74 | ||
3.3 Berechnungen am Dreieck | 76 | ||
3.3.1 Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck | 76 | ||
3.3.2 Dreiecksfläche | 77 | ||
3.3.3 Der Sinussatz | 77 | ||
3.3.4 Der Kosinussatz | 78 | ||
3.4 Weitere Formeln | 79 | ||
3.4.1 Additionstheoreme | 79 | ||
3.4.2 Winkelfunktionen für doppelte und halbe Winkel | 80 | ||
3.4.3 Halbwinkelformeln | 81 | ||
3.5 Das Lösen goniometrischer Gleichungen | 82 | ||
3.6 Anwendungen | 86 | ||
3.6.1 Klassische Vermessungsaufgaben | 86 | ||
3.6.2 Vermessung beim Tunnelbau | 89 | ||
3.6.3 Schallmessortung | 89 | ||
3.7 Übungsaufgaben | 92 | ||
3.7.1 Zu Abschnitt 3.2 | 92 | ||
3.7.2 Zu Abschnitt 3.3 | 93 | ||
3.7.3 Zu Abschnitt 3.4.1 | 94 | ||
3.7.4 Zu Abschnitt 3.5 | 94 | ||
4 Funktionen | 95 | ||
4.1 Der Funktionsbegriff | 95 | ||
4.2 Lineare Funktionen | 96 | ||
4.2.1 Ganzrationale Funktionen: Begriff und allgemeine Eigenschaften | 96 | ||
4.2.2 Eigenschaften linearer Funktionen | 96 | ||
4.2.3 Anwendungsbeispiel: Schnittpunkt | 99 | ||
4.2.4 Graphische Darstellung linearer Gleichungssysteme | 100 | ||
4.2.5 Lineare Ungleichungen in 2 Variablen | 101 | ||
4.2.6 Systeme linearer Ungleichungen in 2 Variablen | 102 | ||
4.2.7 Lineare Optimierung | 103 | ||
4.3 Quadratische Funktionen | 106 | ||
4.4 Ganzrationale Funktionen höheren Grades | 108 | ||
4.5 Anwendung ganzrationaler Funktionen | 111 | ||
4.6 Gebrochenrationale Funktionen | 115 | ||
4.6.1 Begriff und allgemeine Eigenschaften | 115 | ||
4.6.2 Asymptoten | 116 | ||
4.7 Potenz- und Wurzelfunktionen | 118 | ||
4.7.1 Potenzfunktionen | 118 | ||
4.7.2 Wurzelfunktionen | 118 | ||
4.7.3 Beispiele | 119 | ||
4.8 Exponentialfunktionen | 123 | ||
4.8.1 Allgemeine Eigenschaften | 123 | ||
4.8.2 Beispiele | 124 | ||
Radioaktiver Zerfall | 125 | ||
4.9 Logarithmusfunktionen | 128 | ||
4.10 Trigonometrische Funktionen | 128 | ||
4.10.1 Periodizität | 128 | ||
4.10.2 Funktionen mit Parametern | 129 | ||
4.10.3 Schwingungen in der Technik | 130 | ||
4.11 Umkehrfunktionen | 131 | ||
4.11.1 Begriff | 131 | ||
4.11.2 Bestimmung der Umkehrfunktion | 131 | ||
4.11.3 Einige Funktionen und ihre Umkehrungen | 132 | ||
4.11.4 Temperaturskala | 132 | ||
4.12 Übungsaufgaben | 133 | ||
4.12.1 Zu Abschnitt 4.2 | 133 | ||
4.12.2 Zu Abschnitt 4.3 | 136 | ||
4.12.3 Zu Abschnitt 4.11.4 | 137 | ||
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik | 138 | ||
5.1 Einführung | 138 | ||
5.2 Zufall und Wahrscheinlichkeit | 139 | ||
5.3 Einfache Kombinatorik | 142 | ||
5.4 Binomialverteilung | 144 | ||
5.4.1 Grundlagen | 144 | ||
5.4.2 Anwendungsbeispiel: Qualitätskontrolle | 146 | ||
5.4.3 Verallgemeinerung: Multinomiale Verteilung | 148 | ||
5.5 Beschreibung einer statistischen Gesamtheit | 148 | ||
5.5.1 Streuung | 148 | ||
5.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen | 148 | ||
5.5.3 Mittelwert und Standardabweichung | 151 | ||
5.5.4 Beschreibung einer Gesamtheit von Daten mit Kenngrößen | 152 | ||
5.6 Die Normalverteilung | 153 | ||
5.7 Messdatenauswertung | 157 | ||
5.7.1 Resultatangabe und Vertrauensintervall | 157 | ||
5.7.2 Ausgleichsrechnung | 158 | ||
5.8 Statistische Entscheidungsfindung | 162 | ||
5.8.1 Statistisches Testen | 162 | ||
5.8.2 Prozessbeherrschung | 164 | ||
5.9 Elektronische Hilfsmittel | 165 | ||
5.10 Übungsaufgaben | 166 | ||
5.10.1 Zu Abschnitt 5.4 | 166 | ||
5.10.2 Zu Abschnitt 5.5 | 167 | ||
5.10.3 Zu Abschnitt 5.6 | 168 | ||
5.10.4 Zu Abschnitt 5.7 | 168 | ||
5.10.5 Zu Abschnitt 5.8 | 171 | ||
6 Komplexe Zahlen | 173 | ||
6.1 Definition und Grundbegriffe | 173 | ||
6.1.1 Definition | 173 | ||
6.1.2 Die Gauß’sche Zahlenebene | 174 | ||
6.1.3 Komplexe Konjugation | 174 | ||
6.1.4 Betrag | 174 | ||
6.1.5 Argument | 174 | ||
6.2 Darstellungsformen | 175 | ||
6.2.1 Algebraische Form | 175 | ||
6.2.2 Trigonometrische Form | 175 | ||
6.2.3 Umrechnungen | 175 | ||
6.3 Die vier Grundrechenarten | 176 | ||
6.3.1 Addition und Subtraktion | 176 | ||
6.3.2 Multiplikation und Division | 176 | ||
6.3.3 Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung | 177 | ||
6.3.4 Möglichkeiten des TI-30X Pro | 177 | ||
6.4 Höhere Rechenarten | 178 | ||
6.4.1 Potenzen | 178 | ||
6.4.2 Wurzeln | 178 | ||
6.4.3 Exponentialfunktion | 178 | ||
6.5 Der Fundamentalsatz der Algebra | 179 | ||
6.6 Die Lösungsformel der kubischen Gleichung | 180 | ||
6.7 Anwendung: Wechselstromrechnung (Kurzer Abriss) | 181 | ||
6.7.1 Einführung | 181 | ||
6.7.2 Überlagerung von zwei Wechselspannungen | 182 | ||
6.7.3 Komplexe Widerstände (Impedanzen) | 183 | ||
7 Folgen und Reihen | 185 | ||
7.1 Begriffe und Definitionen | 185 | ||
7.1.1 Folgen | 185 | ||
7.1.2 Reihen | 186 | ||
7.2 Arithmetische Folgen und Reihen | 187 | ||
7.2.1 Arithmetische Folgen | 187 | ||
7.2.2 Arithmetische Reihen | 187 | ||
7.3 Geometrische Folgen und Reihen | 188 | ||
7.3.1 Geometrische Folgen | 188 | ||
7.3.2 Geometrische Reihen | 188 | ||
7.3.3 Unendliche geometrische Reihen | 188 | ||
7.4 Anwendung: Potenzreihen bekannter Funktionen | 189 | ||
7.5 Übungsaufgaben | 190 | ||
7.5.1 Zu Abschnitt 7.1 | 190 | ||
7.5.2 Zu Abschnitt 7.2 | 190 | ||
7.5.3 Zu Abschnitt 7.3 | 191 | ||
8 Differenzialrechnung | 192 | ||
8.1 Grundlagen | 192 | ||
8.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen | 192 | ||
8.1.2 Grenzwerte von Funktionen | 193 | ||
8.1.3 Stetigkeit | 195 | ||
8.2 Die Ableitung | 195 | ||
8.2.1 Der Differenzialquotient | 195 | ||
8.2.2 Wichtige Ableitungsregeln | 196 | ||
8.2.3 Die Ableitung ganzrationaler Funktionen | 198 | ||
8.2.4 Die Ableitungsfunktion | 198 | ||
8.3 Die Bedeutung der 1. bis 3. Ableitung | 199 | ||
8.3.1 Maxima | 199 | ||
8.3.2 Minima | 200 | ||
8.3.3 Krümmung | 200 | ||
8.3.4 Wendepunkte | 201 | ||
8.3.5 Beispiel | 201 | ||
8.4 Weitere Ableitungsregeln | 202 | ||
8.4.1 Produktregel | 202 | ||
8.4.2 Quotientenregel | 202 | ||
8.4.3 Kettenregel | 203 | ||
8.4.4 Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen | 204 | ||
8.4.5 Die Ableitung von Logarithmusfunktionen | 205 | ||
8.4.6 Die Ableitung der Umkehrfunktion | 206 | ||
8.4.7 Die Ableitung von Exponentialfunktionen | 207 | ||
8.5 Funktionen mit mehreren Variablen | 207 | ||
8.6 Anwendungen | 207 | ||
8.6.1 Kurvendiskussion | 207 | ||
8.6.2 Extremwertprobleme | 208 | ||
8.6.3 Einige Extremalprinzipien aus der Physik | 209 | ||
8.6.4 Ausgleichsrechnung: Beispiel Lineare Regression | 211 | ||
8.6.5 Maschinenbau: Wechselkräfte in einer Kolbenmaschine | 212 | ||
8.6.6 Das Newton-Verfahren zur numerischen Auflösung von Gleichungen | 215 | ||
8.6.7 Vereinfachung des Newton-Verfahrens: Regula falsi | 219 | ||
8.6.8 Bestimmung aller Lösungen einer algebraischen Gleichung | 220 | ||
8.6.9 Parameterbestimmung in der Physik: Gas-Zustandsgleichung | 221 | ||
8.6.10 Fehlerfortpflanzung | 223 | ||
8.6.11 Unsicherheitsabschätzung | 224 | ||
8.7 Übungsaufgaben | 225 | ||
8.7.1 Zu Abschnitt 8.1 | 225 | ||
8.7.2 Zu Abschnitt 8.2 | 226 | ||
8.7.3 Zu Abschnitt 8.3 | 226 | ||
8.7.4 Zu Abschnitt 8.4 | 226 | ||
8.7.5 Zu Abschnitt 8.6.2 | 228 | ||
9 Integralrechnung | 232 | ||
9.1 Das bestimmte Integral | 232 | ||
9.1.1 Begriffe und Grundlagen | 232 | ||
9.1.2 Berechnung bestimmter Integrale | 233 | ||
9.2 Die Stammfunktion und ihre Ableitung | 234 | ||
9.3 Das unbestimmte Integral | 235 | ||
9.4 Integrationsregeln | 236 | ||
9.4.1 Integrationsregeln aus Ableitungsregeln | 236 | ||
9.4.2 Logarithmische Ableitung | 237 | ||
9.4.3 Partielle Integration | 237 | ||
9.4.4 Integration durch Substitution | 238 | ||
9.5 Numerische Integration | 238 | ||
9.5.1 Integration durch Approximation | 238 | ||
9.5.2 Trapez-Integration | 239 | ||
9.5.3 Romberg-Integration | 239 | ||
9.6 Anwendungen | 240 | ||
9.6.1 Mittelwert einer Funktion in einem Intervall | 240 | ||
9.6.2 Flächenschwerpunkt | 241 | ||
9.6.3 Bogenlänge | 242 | ||
9.6.4 Linienschwerpunkt | 243 | ||
9.6.5 Flächen- und Trägheitsmomente | 244 | ||
9.6.6 Arbeit/Energie bei ortsabhängiger Kraft | 245 | ||
9.6.7 Das RC-Glied | 247 | ||
9.6.8 Leistung des Wechselstroms | 248 | ||
9.6.9 Frequenzanalyse (Fourier-Analyse, harmonische Analyse) | 250 | ||
9.6.10 Seilreibung | 254 | ||
9.6.11 Abkühlung | 255 | ||
9.6.12 Barometrische Höhenformel | 257 | ||
9.6.13 Berechnung des Integrals einer punktweise gegebenen Funktion | 258 | ||
9.6.14 Bewegungsprobleme in der Physik | 258 | ||
Literaturverzeichnis | 260 | ||
Sachwortverzeichnis | 262 |